Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 182 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

182
ϕ−
=
cose
p
r
1
,
10 <≤ e
. (6.38)
Ðàññìîòðè óðàâíåíèå ãèïåðáîëû
1
2
2
2
2
=−
b
y
a
x
,
0>a
,
0>b
. (6.18)
Ñîâìåñòèì ïîëþñ (ðèñ. 6.18) ñ ïðà-
âûì ôîêóñîì ãèïåðáîëû, òîãäà
ϕ=− cos
2
rcx
îòêóäà
crx +ϕ= cos
2
.
Çäåñü
aexr −=
2
. (6.20)
Ïîäñòàâëÿÿ â (6.20) çíà÷åíèå
x
,
ïîëó÷èì
()
ϕ+−=−+ϕ=
coscos
222
eraecacrer
.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
0
2222
>==
−
=−===− p
a
b
a
ac
a
a
c
a
c
eaec
,
îêîí÷àòåëüíî çàïèøåì óðàâíåíèå äëÿ ãèïåðáîëû â ïîëÿðíûõ
êîîðäèíàòàõ
ϕ+= cos
22
erpr
èëè
ϕ−
=
cose
p
r
1
,
1>e
. (6.39)
Òàêèì îáðàçîì ìû âèäèì, ÷òî ïàðàáîëà, ýëëèïñ è ãèïåðáîëà â
ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ ìîãóò áûòü çàäàíû îäíèì è òåì æå óðàâ-
íåíèåì
ϕ−
=
cose
p
r
1
. (6.40)
Ýòî åù¸ ðàç ãîâîðèò î åäèíñòâå ýòèõ ëèíèé.
Ðèñ. 6.18.
cx −
c
a
ϕ
()
yxM,
2
r
r
O
y
x
x
182

                               p
                    r=               ,      0 ≤ e <1.                            (6.38)
                         1 − e cos ϕ
      Ðàññìîòðè óðàâíåíèå ãèïåðáîëû
                    x2       y2
                         −        = 1, a > 0 , b > 0 .                           (6.18)
                    a2       b2
    Ñîâìåñòèì ïîëþñ (ðèñ. 6.18) ñ ïðà-
                                       y
âûì ôîêóñîì ãèïåðáîëû, òîãäà                                           r
                                                                       r2        M (x, y )
               x − c = r2 cos ϕ
îòêóäà                                                                      ϕ         x
                                                         O           a c         x
               x = r2 cos ϕ + c .
                                                                                x−c
      Çäåñü
     r2 = ex − a .        (6.20)                             Ðèñ. 6.18.
    Ïîäñòàâëÿÿ â (6.20) çíà÷åíèå x ,
ïîëó÷èì
                 r2 = e (r2 cos ϕ + c ) − a = ec − a + er2 cos ϕ .
      Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
                             c c2      c2 − a2 b2
              ec − a = e =     =   −a=        =   = p>0,
                             a   a        a     a
îêîí÷àòåëüíî çàïèøåì óðàâíåíèå äëÿ ãèïåðáîëû â ïîëÿðíûõ
êîîðäèíàòàõ
                                  r2 = p + er2 cos ϕ
èëè
                               p
                    r=              ,      .                                     (6.39)
                         1 − e cos ϕ e > 1
     Òàêèì îáðàçîì ìû âèäèì, ÷òî ïàðàáîëà, ýëëèïñ è ãèïåðáîëà â
ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ ìîãóò áûòü çàäàíû îäíèì è òåì æå óðàâ-
íåíèåì
                               p
                    r=               .                                           (6.40)
                         1 − e cos ϕ
      Ýòî åù¸ ðàç ãîâîðèò î åäèíñòâå ýòèõ ëèíèé.

Страницы