Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 183 стр.

                                                                             183

7. Ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà. Îáùàÿ òåîðèÿ


7.1. Îáùåå ïîíÿòèå î ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà

Îïðåäåëåíèå 7.1. Àëãåáðàè÷åñêèì óðàâíåíèåì îò ïåðåìåííûõ
x1 , x 2 ,..., x n áóäåì íàçûâàòü óðàâíåíèå âèäà
                     F (x1 , x 2 ,..., x n ) = 0 ,                       (7.1)
â êîòîðîì ëåâàÿ ÷àñòü F (x1 , x2 ,..., xn ) åñòü ìíîãî÷ëåí îò ýòèõ ïåðå-
ìåííûõ. Ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà F (x1, x2 ,..., xn ) áóäåì íàçûâàòü ñòå-
ïåíüþ óðàâíåíèÿ (7.1).
      äàííîì ðàçäåëå ìû îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì ìíîãî÷ëå-
íîâ âòîðîé ñòåïåíè îò ïåðåìåííûõ x è y , ò.å. ìíîãî÷ëåíîâ âèäà
                                      F (x, y ) = 0 ,
êîòîðûå ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â âèäå
                     Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0              (7.2)
èëè â áîëåå ñèììåòðè÷íîé çàïèñè
             a11 x 2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0 .
                                                       (7.3)
    Óðàâíåíèÿ (7.2) è (7.3) åñòü ïðîñòî ðàçíûå âèäû çàïèñè îä-
íîãî è òîãî æå îáùåãî óðàâíåíèÿ ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà îò ïåðå-
ìåííûõ x è y . Ìû áóäåì ïðèäåðæèâàòüñÿ â äàëüíåéøåì çàïèñè
îáùåãî óðàâíåíèÿ ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà â âèäå (7.3).
    Èòàê, ïóñòü íàì çàäàíî îáùåå óðàâíåíèå ëèíèè âòîðîãî
ïîðÿäêà
             a11 x 2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0     (7.3)
â íåêîòîðîé ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò.
     Íàøà çàäà÷à áóäåò çàêëþ÷àòüñÿ â ïîèñêå êàíîíè÷åñêîé ñèñ-
òåìû êîîðäèíàò, â êîòîðîé óðàâíåíèå (7.3) ïðèìåò ìàêñèìàëüíî
ïðîñòîé - êàíîíè÷åñêèé âèä.
     Â ðåçóëüòàòå íàøèõ ïîèñêîâ ìû ïîêàæåì, ÷òî óðàâíåíèå (7.3)
áóäåò îïðåäåëÿòü îäíó èç ñëåäóþùèõ ëèíèé: