Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 186 стр.

186
      Ïîëàãàÿ â ïîñëåäíåì óðàâíåíèè
                                     ′ ,
            a11 x0 + a12 y0 + a13 = a13                                         (7.7)
               a12 x0 + a22 y0 + a23 = a′23 ,                                   (7.8)
                                                                    ′
       a11 x02 + 2a12 x0 y0 + a22 y02 + +2a13 x0 + 2a23 y0 + a33 = a33          (7.9)
çàïèøåì åãî â âèäå
       a11 x′ 2 + 2a12 x′y′ + a22 y′ 2 + 2a13          (7.10) ′ =0.
                                           ′ x′ + 2a′23 y′ + a33
      Ñðàâíèâàÿ ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå (7.10) ñ èñõîäíûì óðàâíå-
íèåì (7.3) ìû ìîæåì ñäåëàòü âûâîä: ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå
ÏÑÊ â ñîîòâåòñòâèè ñ (7.6) êîýôôèöèåíòû ÷ëåíîâ ñòàðøåé ãðóï-
ïû íå ìåíÿþòñÿ. Êîýôôèöèåíòû ÷ëåíîâ ëèíåéíîé ãðóïïû ìåíÿþò-
ñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëàìè (7.7) ÷ (7.9).
      Çàìåòèì, ÷òî èñïîëüçóÿ (7.7) è (7.8) ìû ìîæåì ïåðåïèñàòü
(7.9) òàê
 ′ = (a11 x0 + a12 y0 + a13 )x0 + (a12 x0 + a22 y0 + a23 )y0 + a13 x0 + a23 y0 + a33 =
a33
                          = (a13
                              ′ + a13 )x0 + (a′23 + a23 )y0 + a33 .
      Èëè
                ′ = (a13
               a33    ′ + a13 )x0 + (a23
                                      ′ + a23 )y0 + a33 .                       (7.11)

7.2.2. Ïðåîáðàçîâàíèå êîýôôèöèåíòîâ ïðè ïîâîðîòå ÏÑÊ

    Ðàññìîòðèì ïîâîðîò ÏÑÊ Oxy âîêðóã òî÷êè O íà óãîë ϕ
ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè (ñì. ï. 4.5.2). Ïðè ýòîì ìû ìîæåì âîñ-
ïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëàìè (4.25), ñâÿçûâàþùèìè ñòàðûå è íî-
âûå êîîðäèíàòû
                x = x ′ cos ϕ − y′ sin ϕ ,
                       y = x ′xinϕ + y′ cos ϕ .                                 (4.25)
      Ïîäñòàâèì (4.25) â (7.3). Òîãäà
                 x 2 = x′ 2 cos 2 ϕ − 2x′y′ cos ϕ sin ϕ + y′ 2 sin 2 ϕ ,

                 y 2 = x′ 2 sin 2 ϕ + 2x′y′ cos ϕ sin ϕ + y′ 2 cos 2 ϕ ,

         xy = x′ 2 sin ϕ cos ϕ + x′y′ cos 2 ϕ − x′y′ sin 2 ϕ − y′ 2 sin ϕ cos ϕ .