Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 187 стр.

                                                                                         187
       Ïðåîáðàçóåì ïîëó÷åííûå ðàâåíñòâà èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ
                     1 − cos 2ϕ           1 + cos 2ϕ
         sin 2 ϕ =              , cos ϕ =
                                     2
                                                     , 2 sin ϕ cos ϕ = sin 2ϕ :
                          2                    2

                         x ′ (1 + cos 2ϕ) − x ′y′ sin 2ϕ + y′ 2 (1 − cos 2ϕ) ,
                       1 2                                1
                x2 =
                       2                                  2

                     y2 =
                            1
                              (1 − cos 2ϕ) + x′y′ sin 2ϕ + 1 y′(1 + cos 2ϕ) ,
                            2                              2

               x ′ sin 2ϕ + x ′y′(1 + cos 2ϕ ) − x ′y′(1 − cos 2ϕ) − y′ 2 sin 2ϕ =
             1 2           1                    1                   1
      xy =
             2             2                    2                   2
                                1 2                          1
                            =     x ′ sin 2ϕ + x ′y′ cos 2ϕ − y′ 2 sin 2ϕ .
                                2                            2
    Ñ ó÷¸òîì òð¸õ ïîñëåäíèõ ðàâåíñòâ è (4.25) óðàâíåíèå (7.3)
ïðèìåò âèä:
      1            1                                     1          1
        a11 x ′ 2 + a11 x ′ 2 cos 2ϕ − a11 x ′y′ sin 2ϕ + a11 y′ 2 − a11 y′ 2 cos 2ϕ +
      2            2                                     2          2
                   + a12 x′ 2 sin 2ϕ + 2a12 x′y′ cos 2ϕ − a12 y′ 2 sin 2ϕ +
      1           1                                     1          1
  +     a22 x′ 2 − a22 x ′ 2 cos 2ϕ + a22 x ′y′ sin 2ϕ + a22 y′ 2 + a22 y′ 2 cos 2ϕ +
      2           2                                     2          2
         2a13 x ′ cos ϕ − 2a13 y′ sin ϕ + 2a23 x ′ sin ϕ + 2a23 y′ cos ϕ + a33 = 0 .
       Ãðóïïèðóÿ ÷ëåíû ïåðåïèøåì ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå
                 1                                                   2
                  2 (a11 + a22 ) + 2 (a11 − a22 )cos 2ϕ + a12 sin 2ϕ x ′ +
                                    1
                                                                    

                            1                               
                       + 2 − (a11 − a22 )sin 2ϕ + a12 cos 2ϕ x ′y′ +
                            2                               

                  1                                              
                +  (a11 + a22 ) − (a11 − a22 )cos 2ϕ − a12 sin 2ϕ y′ 2 +
                                  1
                  2              2                               
             + 2(a13 cos ϕ + a23 sin ϕ)x ′ + 2(a23 cos ϕ − a13 sin ϕ)y′ + a33 =
                  ′ x′ 2 + 2a12
               = a11         ′ x′y′ + a22
                                       ′ y′ 2 + 2a13                 ′ =0.
                                                  ′ x′ + 2a′23 y′ + a33