Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 188 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

188
Ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ ïå-
ðåìåííûõ ïîëó÷èì âûðàæåíèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòîâ îáùåãî óðàâ-
íåíèÿ ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà ïîñëå ïîâîðîòà ÏÑÊ íà óãîë
ϕ
()()
ϕ+ϕ−++=
′
22
2
1
2
1
122211221111
sincos aaaaaa
, (7.12)
()
ϕ+ϕ−−=
′
22
2
1
12221112
cossin aaaa
, (7.13)
()()
ϕ−ϕ−−+=
′
22
2
1
2
1
122211221122
sincos aaaaaa
, (7.14)
ϕ+ϕ=
′
sincos
231313
aaa
, (7.15)
ϕ−ϕ=
′
sincos
132323
aaa
, (7.16)
3333
aa =
′
. (7.17)
Îêîí÷àòåëüíî çàïèøåì
0222
332313
2
2212
2
11
=
′
+
′′
+
′′
+
′′
+
′′′
+
′′
ayaxayayxaxa
. (7.18)
Àíàëèçèðóÿ óðàâíåíèÿ (7.12)
÷
(7.17) ìû ìîæåì ñäåëàòü âû-
âîä:
1) ïðè ïîâîðîòå ÏÑÊ íà óãîë
ϕ
êîýôôèöèåíòû
11
a
′
,
12
a
′
,
22
a
′
ãðóïïû ñòàðøèõ ÷ëåíîâ âûðàæàþòñÿ ëèøü ÷åðåç óãîë
ϕ
è êîýô-
ôèöèåíòû ñòàðøèõ ÷ëåíîâ
11
a
,
12
a
è
22
a
;
2) êîýôôèöèåíòû ëèíåéíîé ôîðìû
13
a
′
è
23
a
′
âûðàæàþòñÿ
ëèøü ÷åðåç óãîë
ϕ
è êîýôôèöèåíòû ëèíåéíîé ôîðìû
13
a
è
23
a
;
3) ñâîáîäíûé ÷ëåí
3333
aa =
′
ïðè ïîâîðîòå ÏÑÊ íå ìåíÿåòñÿ.
7.3. Ïîíÿòèå èíâàðèàíòà.
Îñíîâíûå èíâàðèàíòû ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà
Ðàññìîòðèì îäèí èç âàæíåéøèõ âîïðîñîâ ñâÿçàííûõ ñ òåî-
ðèåé ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà, à èìåííî, âîïðîñ îá èíâàðèàíòàõ.
Íà÷í¸ì ñ ïîÿñíåíèÿ ýòîãî ïîíÿòèÿ íà ïðèìåðå. Ñëîæèâ óðàâ-
íåíèÿ (7.12) è (7.14), ïîëó÷èì:
188
    Ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ ïå-
ðåìåííûõ ïîëó÷èì âûðàæåíèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòîâ îáùåãî óðàâ-
íåíèÿ ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà ïîñëå ïîâîðîòà ÏÑÊ íà óãîë ϕ

        ′ =
       a11
              1
                (a11 + a22 ) + 1 (a11 − a22 )cos 2ϕ + a12 sin 2ϕ ,   (7.12)
              2                2

        ′ =−
       a12
                1
                  (a11 − a22 )sin 2ϕ + a12 cos 2ϕ ,                  (7.13)
                2

        ′ =
       a22
              1
                (a11 + a22 ) − 1 (a11 − a22 )cos 2ϕ − a12 sin 2ϕ ,   (7.14)
              2                2
        ′ = a13 cos ϕ + a23 sin ϕ ,
       a13                                                           (7.15)
       a′23 = a23 cos ϕ − a13 sin ϕ ,                                (7.16)
        ′ = a33 .
       a33                                                           (7.17)
       Îêîí÷àòåëüíî çàïèøåì
        ′ x′ 2 + 2a12
       a11         ′ x′y′ + a′22 y′ 2 + 2a13                 ′ =0.
                                                         (7.18)
                                          ′ x′ + 2a′23 y′ + a33
       Àíàëèçèðóÿ óðàâíåíèÿ (7.12) ÷ (7.17) ìû ìîæåì ñäåëàòü âû-
âîä:
                                                 ′ , a12
    1) ïðè ïîâîðîòå ÏÑÊ íà óãîë ϕ êîýôôèöèåíòû a11    ′ , a22
                                                           ′
ãðóïïû ñòàðøèõ ÷ëåíîâ âûðàæàþòñÿ ëèøü ÷åðåç óãîë ϕ è êîýô-
ôèöèåíòû ñòàðøèõ ÷ëåíîâ a11 , a12 è a22 ;
                                       ′ è a′23 âûðàæàþòñÿ
       2) êîýôôèöèåíòû ëèíåéíîé ôîðìû a13
ëèøü ÷åðåç óãîë ϕ è êîýôôèöèåíòû ëèíåéíîé ôîðìû a13 è a23 ;
                          ′ = a33 ïðè ïîâîðîòå ÏÑÊ íå ìåíÿåòñÿ.
       3) ñâîáîäíûé ÷ëåí a33


7.3. Ïîíÿòèå èíâàðèàíòà.
     Îñíîâíûå èíâàðèàíòû ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà

    Ðàññìîòðèì îäèí èç âàæíåéøèõ âîïðîñîâ ñâÿçàííûõ ñ òåî-
ðèåé ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà, à èìåííî, âîïðîñ îá èíâàðèàíòàõ.
    Íà÷í¸ì ñ ïîÿñíåíèÿ ýòîãî ïîíÿòèÿ íà ïðèìåðå. Ñëîæèâ óðàâ-
íåíèÿ (7.12) è (7.14), ïîëó÷èì:

Страницы