Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 190 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

190
() ()
2
12
2
2211
2
12
2
2211
44
aaaaaa
+−=
′
+
′
−
′
,
îòêóäà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî âûðàæåíèå
() ()
2
12
2
2211
2
12
2
2211
44
aaaaaa
+−=
′
+
′
−
′
åñòü òîæå èíâàðèàíò.
()
2
12
2
2211
4
aaa
+−
(7.20)
Ýòîò èíâàðèàíò ìîæåò áûòü ïåðåïèñàí è òàê:
()
=++−=+−
2
12
2
222211
2
11
2
12
2
2211
424
aaaaaaaa
=−+++−=
22112211
2
12
2
222211
2
11
2242
aaaaaaaaa
()
()
2
122211
2
22112211
2
12
2
222211
2
11
4242
aaaaaaaaaaaa
−−+=−+++=
èëè
() ()
()
2
122211
2
2211
2
12
2
2211
44
aaaaaaaa
−−+=+−
. (7.21)
Çàìåòèì, ÷òî åñëè ìû èìååì íåñêîëüêî èíâàðèàíòîâ
n
III
,...,,
21
, òî ëþáàÿ èõ ôóíêöèÿ
()
n
IIIF
,...,,
21
åñòü òîæå èíâàðè-
àíò. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî åñëè
n
III
,...,,
21
íå ìåíÿþòñÿ ïðè çà-
ìåíå ÏÑÊ, òî íå áóäåò ìåíÿòüñÿ è
()
n
IIIF
,...,,
21
. Òàêèì îáðàçîì
åñëè
22111
aaI +=
èíâàðèàíò, òî è
()
2
2211
2
1
aaI
+=
òîæå èíâàðèàíò.
Âû÷èòàÿ èç (7.21)
2
1
I
ïîëó÷èì èíâàðèàíò
( )
2
122211
4
aaa −−
,
ðàçäåëèâ êîòîðûé íà
4−
îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì íîâûé èíâàðè-
àíò
2
I
:
2221
1211
2
1222112
aa
aa
aaaI =−=
. (7.22)
Çäåñü ìû ó÷ëè, ÷òî
2112
aa =
.
190

                        (a11′ − a22′ )2 + 4a12′ 2 = (a11 − a22 )2 + 4a122 ,
îòêóäà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî âûðàæåíèå
(a11′ − a22′ )2 + 4a12′ 2 = (a11 − a22 )2 + 4a122
åñòü òîæå èíâàðèàíò.
                          (a11 − a22 )2 + 4a122                                   (7.20)
       Ýòîò èíâàðèàíò ìîæåò áûòü ïåðåïèñàí è òàê:
                   (a11 − a22 )2 + 4a122 = a112 − 2a11a22 + a222 + 4a122 =
                   = a11
                      2
                         − 2a11a22 + a22
                                      2
                                         + 4a12
                                             2
                                                + 2a11a22 − 2a11a22 =

       = a11
          2
             + 2a11a22 + a22
                          2
                             + 4a12
                                 2
                                    − 2a11a22 = (a11 + a22 ) − 4 a11a22 − a12
                                                                     2     2
                                                                              (     )
èëè
                 (a11 − a22 )2 + 4a122 = (a11 + a22 )2 − 4(a11a22 − a122 ).       (7.21)
          Çàìåòèì, ÷òî åñëè ìû èìååì íåñêîëüêî èíâàðèàíòîâ
I1 , I 2 ,..., I n , òî ëþáàÿ èõ ôóíêöèÿ F (I1 , I 2 ,..., I n ) åñòü òîæå èíâàðè-
àíò. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî åñëè I1 , I 2 ,..., I n íå ìåíÿþòñÿ ïðè çà-
ìåíå ÏÑÊ, òî íå áóäåò ìåíÿòüñÿ è F (I1 , I 2 ,..., I n ) . Òàêèì îáðàçîì
åñëè
                                         I1 = a11 + a22
èíâàðèàíò, òî è
                                       I12 = (a11 + a22 )
                                                          2

òîæå èíâàðèàíò.
       Âû÷èòàÿ èç (7.21) I12 ïîëó÷èì èíâàðèàíò
                                           (
                                       − 4 a11a22 − a12
                                                     2
                                                        , )
ðàçäåëèâ êîòîðûé íà −4 îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì íîâûé èíâàðè-
àíò I 2 :
                                                    a11   a12
                          I 2 = a11a22 − a12
                                          2
                                             =
                                                    a21   a22 .                   (7.22)

       Çäåñü ìû ó÷ëè, ÷òî a12 = a21 .

Страницы