Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 191 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

191
Ñ ïîìîùüþ äîâîëüíî óòîìèòåëüíûõ âû÷èñëåíèé (èëè èñ-
ïîëüçóÿ òåîðèþ êâàäðàòè÷íûõ ôîðì, êîòîðóþ ìû áóäåì èçó÷àòü
âî âòîðîì ñåìåñòðå) ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî
333231
232221
131211
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
=
′′′
′′′
′′′
,
ò.å.
333231
232221
131211
3
aaa
aaa
aaa
I =
(7.23)
åñòü òîæå èíâàðèàíò ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà.
Èòàê, ìû ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó âàæíîìó âûâîäó: âûðà-
æåíèÿ
1
I
,
2
I
,
3
I
åñòü îðòîãîíàëüíûå èíâàðèàíòû óðàâíåíèÿ ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà.
Çàìå÷àíèå. Ðàññìîòðèì êâàäðàòíîå óðàâíåíèå
O=λ− EI
2
èëè
0
2221
1211
=
λ−
λ−
aa
aa
. (7.24)
Ðàñêðîåì îïðåäåëèòåëü (7.24)
()()
0
2
122211
2221
1211
=−λ−⋅λ−=
λ−
λ−
aaa
aa
aa
èëè
()
( )
0
2
1222112211
2
=−+λ+−λ
aaaaa
,
èëè ñ ó÷¸òîì (7.19) è (7.22)
0
21
2
=+λ−λ II
, (7.25)
îòêóäà ñðàçó ñëåäóåò èíâàðèàíòíîñòü êîðíåé
1
λ è
2
λ â ñèëó èí-
âàðèàíòíîñòè êîýôôèöèåíòîâ
1
I
è
2
I
.
                                                                                 191
     Ñ ïîìîùüþ äîâîëüíî óòîìèòåëüíûõ âû÷èñëåíèé (èëè èñ-
ïîëüçóÿ òåîðèþ êâàäðàòè÷íûõ ôîðì, êîòîðóþ ìû áóäåì èçó÷àòü
âî âòîðîì ñåìåñòðå) ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî
                        ′
                       a11       ′
                                a12        ′
                                         a13    a11    a12   a13
                        ′
                       a21       ′
                                a22      a′23 = a21    a22   a23
                                                                   ,
                        ′
                       a31       ′
                                a32        ′
                                         a33    a31    a32   a33
ò.å.
                               a11     a12      a13
                   I 3 = a21           a22      a23
                                                                             (7.23)
                               a31     a32      a33
åñòü òîæå èíâàðèàíò ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà.
     Èòàê, ìû ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó âàæíîìó âûâîäó: âûðà-
æåíèÿ
                           I1 , I 2 , I 3
åñòü îðòîãîíàëüíûå èíâàðèàíòû óðàâíåíèÿ ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà.
     Çàìå÷àíèå. Ðàññìîòðèì êâàäðàòíîå óðàâíåíèå
                                        I 2 − λE = O
èëè
                      a11 − λ          a12
                                                = 0.                         (7.24)
                         a21          a22 − λ
       Ðàñêðîåì îïðåäåëèòåëü (7.24)
               a11 − λ          a12
                                         = (a11 − λ )⋅ (a22 − λ ) − a12
                                                                     2
                                                                        =0
                a21        a22 − λ
èëè
                                                  (
                      λ2 − (a11 + a22 )λ + a11a22 − a12
                                                     2
                                                        =0,   )
èëè ñ ó÷¸òîì (7.19) è (7.22)
                   λ2 − I1λ + I 2 = 0 ,                                      (7.25)
îòêóäà ñðàçó ñëåäóåò èíâàðèàíòíîñòü êîðíåé λ1 è λ 2 â ñèëó èí-
âàðèàíòíîñòè êîýôôèöèåíòîâ I1 è I 2 .

Страницы