Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 192 стр.

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ПсковГУ | Псков

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192
Èíâàðèàíòû
1
I
è
2
I
åñòü ôóíêöèè îò
1
λ è
2
λ â ñèëó õîðîøî
èçâåñòíîé íàì èç øêîëüíîé ïðîãðàììû òåîðåìû Âèåòà, ò.å.
211
λ+λ=I à
212
λ⋅λ=I . (7.26)
Ê èíâàðèàíòàì ìû ìîæåì ïðèïèñàòü è ðàíãè îïðåäåëèòå-
ëåé
2
I
è
3
I
, ò.å.
2
RgI
è
3
RgI
åñòü òîæå èíâàðèàíòû.
Ãåîìåòðè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà è èõ
ðàñïîëîæåíèå âïîëíå îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèåì èõ èíâàðèàíòîâ
1
I
,
2
I
,
3
I
.
 çàâèñèìîñòè îò çíàêà
2
I
îíè ðàçäåëÿþòñÿ íà ñëåäóþùèå
òèïû:
0
2
>I - ýëëèïòè÷åñêèé òèï;
0
2
<I - ãèïåðáîëè÷åñêèé òèï;
0
2
=I - ïàðàáîëè÷åñêèé òèï.
Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì òðè êàíîíè÷åñêèõ óðàâíåíèÿ ýëëèïñà, ãè-
ïåðáîëû è ïàðàáîëû:
1. Ýëëèïñ
1
916
22
=+
yx
èëè
0144169
22
=−+ yx
.
Çäåñü
9
11
=a ,
16
22
=a ,
0
12
=a , òîãäà
0144
160
09
2
>==I
.
2. Ãèïåðáîëà
1
916
22
=−
yx
èëè
0144169
22
=−− yx
.
Çäåñü
9
11
=a ,
16
22
−=a ,
0
12
=a è òîãäà
0144
160
09
2
<−=
−
=I
.
3. Ïàðàáîëà
xy 6
2
=
èëè
06
2
=− xy
.
192

     Èíâàðèàíòû I1 è I 2 åñòü ôóíêöèè îò λ1 è λ 2 â ñèëó õîðîøî
èçâåñòíîé íàì èç øêîëüíîé ïðîãðàììû òåîðåìû Âèåòà, ò.å.
                     I1 = λ 1 + λ 2 à I 2 = λ 1 ⋅ λ 2 .  (7.26)
     Ê èíâàðèàíòàì ìû ìîæåì ïðèïèñàòü è ðàíãè îïðåäåëèòå-
ëåé I 2 è I 3 , ò.å.
                         RgI 2 è RgI 3
åñòü òîæå èíâàðèàíòû.
     Ãåîìåòðè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà è èõ
ðàñïîëîæåíèå âïîëíå îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèåì èõ èíâàðèàíòîâ
                          I1 , I 2 , I 3 .
    Â çàâèñèìîñòè îò çíàêà I 2 îíè ðàçäåëÿþòñÿ íà ñëåäóþùèå
òèïû:
           I 2 > 0 - ýëëèïòè÷åñêèé òèï;
              I 2 < 0 - ãèïåðáîëè÷åñêèé òèï;
              I 2 = 0 - ïàðàáîëè÷åñêèé òèï.
Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì òðè êàíîíè÷åñêèõ óðàâíåíèÿ ýëëèïñà, ãè-
ïåðáîëû è ïàðàáîëû:
                  x2 y2
      1. Ýëëèïñ      +   = 1 èëè 9x 2 + 16 y 2 − 144 = 0 .
                  16   9
      Çäåñü a11 = 9 , a22 = 16 , a12 = 0 , òîãäà
                                     9   0
                            I2 =             = 144 > 0 .
                                     0 16

                       x2 y2
      2. Ãèïåðáîëà        −   = 1 èëè 9x 2 − 16 y 2 − 144 = 0 .
                       16   9
      Çäåñü a11 = 9 , a22 = −16 , a12 = 0 è òîãäà
                                 9       0
                          I2 =               = −144 < 0 .
                                 0 − 16

      3. Ïàðàáîëà y 2 = 6x èëè y 2 − 6x = 0 .

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