Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 194 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

194
íî
O
′
òîæå ïðèíàäëåæèò ëèíèè
l
. Òàêèì îáðàçîì, åñëè ñóùå-
ñòâóåò öåíòð ñèììåòðèè
O
′
äëÿ
l
, òî îòíîñèòåëüíî ýòîãî öåíòðà
òî÷êè ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà
l
ðàñïîëàãàþòñÿ ñèììåòðè÷íî
ïàðàìè è öåíòð ëèíèè
l
åñòü öåíòð å¸ ñèììåòðèè.
Çàìå÷àíèå. Åñëè ëèíèÿ
l
èìååò öåíòð ñèììåòðèè, òî äëÿ íå¸
3323
aII
′
⋅=
. (7.29)
Ýòî ñëåäóåò èç òîãî ôàêòà, ÷òî
332
2221
1211
33
33
2221
1211
333231
232221
131211
3
00
0
0
aI
aa
aa
a
a
aa
aa
aaa
aaa
aaa
I
′
⋅=⋅
′
=
′
=
′′′
′
′
=
.
Èç (7.29) ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî
2
3
33
I
I
a =
′
. (7.30)
Íàëè÷èå öåíòðà ó ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà ñâÿçàíî ñ ðàçðå-
øèìîñòüþ ñèñòåìû óðàâíåíèé (7.28), ò.å. åñëè ñèñòåìà óðàâíåíèé
(7.28) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, ëèíèÿ
l
áóäåò öåíòðàëüíîé.
Òàê êàê îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìû (7.28) åñòü
2
2221
1211
I
aa
aa
=
,
òî íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì íàëè÷èÿ öåíòðà åñòü
îòëè÷èå îò íóëÿ ýòîãî îïðåäåëèòåëÿ, ò.å. åñëè
0
2
≠I
ëèíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà
l
èìååò öåíòð.
Èç ñêàçàííîãî âûøå ìû ìîæåì ñäåëàòü ñëåäóþùèé âûâîä:
Ëèíèè ýëëèïòè÷åñêîãî òèïà
0
2
>I è ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà
0
2
<I è òîëüêî îíè ÿâëÿþòñÿ öåíòðàëüíûìè ëèíèÿìè.
Èòàê, åñëè ëèíèÿ (7.3) öåíòðàëüíàÿ, òî ïàðàëëåëüíûì ïåðå-
íîñîì å¸ â òî÷êó
()
00
yxO,
′
ìû ìîæåì ïðåäñòàâèòü å¸ â âèäå (7.27)
02
33
2
2212
2
11
=
′
+
′
+
′′
+
′
ayayxaxa
. (7.27)
194
íî O′ òîæå ïðèíàäëåæèò ëèíèè l . Òàêèì îáðàçîì, åñëè ñóùå-
ñòâóåò öåíòð ñèììåòðèè O′ äëÿ l , òî îòíîñèòåëüíî ýòîãî öåíòðà
òî÷êè ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà l ðàñïîëàãàþòñÿ ñèììåòðè÷íî
ïàðàìè è öåíòð ëèíèè l åñòü öåíòð å¸ ñèììåòðèè.
     Çàìå÷àíèå. Åñëè ëèíèÿ l èìååò öåíòð ñèììåòðèè, òî äëÿ íå¸
                                      ′ .
                         I 3 = I 2 ⋅ a33                                           (7.29)
      Ýòî ñëåäóåò èç òîãî ôàêòà, ÷òî
            a11    a12        ′
                            a13    a11       a12     0
                                                              a     a12
       I 3 = a21   a22      a′23 = a21       a22           ′ ⋅ 11
                                                      0 = a33                      ′
                                                                          = I 2 ⋅ a33
                                                              a21   a22                 .
              ′
             a31    ′
                   a32        ′
                            a33     0         0       ′
                                                     a33
      Èç (7.29) ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî
                                I3
                          ′ =
                         a33
                                I2 .                                               (7.30)
     Íàëè÷èå öåíòðà ó ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà ñâÿçàíî ñ ðàçðå-
øèìîñòüþ ñèñòåìû óðàâíåíèé (7.28), ò.å. åñëè ñèñòåìà óðàâíåíèé
(7.28) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, ëèíèÿ l áóäåò öåíòðàëüíîé.
Òàê êàê îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìû (7.28) åñòü
                                       a11     a12
                                                     = I2 ,
                                       a21     a22
òî íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì íàëè÷èÿ öåíòðà åñòü
îòëè÷èå îò íóëÿ ýòîãî îïðåäåëèòåëÿ, ò.å. åñëè
                                             I2 ≠ 0
ëèíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà l èìååò öåíòð.
    Èç ñêàçàííîãî âûøå ìû ìîæåì ñäåëàòü ñëåäóþùèé âûâîä:
    Ëèíèè ýëëèïòè÷åñêîãî òèïà I 2 > 0 è ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà
I 2 < 0 è òîëüêî îíè ÿâëÿþòñÿ öåíòðàëüíûìè ëèíèÿìè.
    Èòàê, åñëè ëèíèÿ (7.3) öåíòðàëüíàÿ, òî ïàðàëëåëüíûì ïåðå-
íîñîì å¸ â òî÷êó O′(x0 , y0 ) ìû ìîæåì ïðåäñòàâèòü å¸ â âèäå (7.27)
                                                            ′ =0.
                         a11 x′ 2 + 2a12 x′y′ + a22 y′ 2 + a33                     (7.27)

Страницы