Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 195 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

195
7.5. Ñòàíäàðòíîå óïðîùåíèå ëþáîãî óðàâíåíèÿ ëèíèè
âòîðîãî ïîðÿäêà ïóò¸ì ïîâîðîòà îñåé ÏÑÊ
Ïîêàæåì, ÷òî ëþáîå óðàâíåíèå ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà (7.3)
ïóò¸ì ïîâîðîòà ÏÑÊ ìîæåò áûòü ïðèâåäåíî ê óðàâíåíèþ, â êî-
òîðîì íå áóäåò ñîäåðæàòüñÿ ñëàãàåìîãî
yxa
′′′
12
2
, ò.å. áóäåò
0
12
=
′
a
.
Òàêîå óïðîùåíèå íàçûâàåòñÿ ñòàíäàðòíûì.
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â èñõîäíîì óðàâíåíèè (7.3)
0
12
≠a . Ïóñòü
óãîë
ϕ
- óãîë ïîâîðîòà íîâîé ÏÑÊ
yxO
′′
îòíîñèòåëüíî ñòàðîé
ÏÑÊ
Oxy
. Îáðàùàÿñü ê óðàâíåíèþ (7.13) ïðè
0
12
=
′
a
ïîëó÷èì
()
022
2
1
122211
=ϕ+ϕ−−
cossin aaa
, (7.31)
ãäå
0
12
≠a ïî îïðåäåëåíèþ. Òîãäà
12
2211
2
2
a
aa
ctg
−
=ϕ
(7.32)
èëè
2211
12
2
2
aa
a
tg
−
=ϕ
. (7.33)
Èòàê, åñëè ìû ïîâåðí¸ì ÏÑÊ
Oxy
íà óãîë
ϕ
â ñîîòâåòñòâèè
ñ (7.32) èëè (7.33), òî â íîâîé ÏÑÊ
yxO
′′
12
a
′
ïðèìåò çíà÷åíèå
íóëü (
0
12
=
′
a
) è óðàâíåíèå ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà (7.3) ïðèìåò
âèä
022
332313
2
22
2
11
=
′
+
′′
+
′′
+
′′
+
′′
ayaxayaxa
. (7.34)
Ïðèìåíèì ñòàíäàðòíîå óïðîùåíèå ê ÷àñòíîìó âèäó ëèíèè
âòîðîãî ïîðÿäêà, ò.å. ê ëèíèè âèäà
02
33
2
2212
2
11
=
′
+
′
+
′′
+
′
ayayxaxa
. (7.27)
Ýòî åñòü óðàâíåíèå ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà, èìåþùåé öåíòð
èëè ïðÿìóþ öåíòðîâ. Òàê êàê ëèíåéíàÿ ÷àñòü îòñóòñòâóåò, òî íà-
÷àëî êîîðäèíàò ÏÑÊ åñòü öåíòð ëèíèè
l
. Ïîëîæèì äëÿ îïðåäå-
ë¸ííîñòè, ÷òî
13*
                                                                        195
7.5. Ñòàíäàðòíîå óïðîùåíèå ëþáîãî óðàâíåíèÿ ëèíèè
     âòîðîãî ïîðÿäêà ïóò¸ì ïîâîðîòà îñåé ÏÑÊ

    Ïîêàæåì, ÷òî ëþáîå óðàâíåíèå ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà (7.3)
ïóò¸ì ïîâîðîòà ÏÑÊ ìîæåò áûòü ïðèâåäåíî ê óðàâíåíèþ, â êî-
                                        ′ x ′y′ , ò.å. áóäåò a12
òîðîì íå áóäåò ñîäåðæàòüñÿ ñëàãàåìîãî 2a12                    ′ =0.
Òàêîå óïðîùåíèå íàçûâàåòñÿ ñòàíäàðòíûì.
    Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â èñõîäíîì óðàâíåíèè (7.3) a12 ≠ 0 . Ïóñòü
óãîë ϕ - óãîë ïîâîðîòà íîâîé ÏÑÊ Ox′y′ îòíîñèòåëüíî ñòàðîé
                                            ′ = 0 ïîëó÷èì
ÏÑÊ Oxy . Îáðàùàÿñü ê óðàâíåíèþ (7.13) ïðè a12

                  −
                      1
                        (a11 − a22 )sin 2ϕ + a12 cos 2ϕ = 0 ,       (7.31)
                      2
ãäå a12 ≠ 0 ïî îïðåäåëåíèþ. Òîãäà
                             a11 − a22
                  ctg 2ϕ =                                          (7.32)
                               2a12
èëè
                              2a12
                  tg 2ϕ =
                            a11 − a22 .                             (7.33)

      Èòàê, åñëè ìû ïîâåðí¸ì ÏÑÊ Oxy íà óãîë ϕ â ñîîòâåòñòâèè
ñ (7.32) èëè (7.33), òî â íîâîé ÏÑÊ Ox′y′ a12
                                           ′ ïðèìåò çíà÷åíèå
        ′ = 0 ) è óðàâíåíèå ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà (7.3) ïðèìåò
íóëü ( a12
âèä
                   ′ x′ 2 + a′22 y′ 2 + 2a13
                  a11                            (7.34)
                                          ′ x′ + 2a23      ′ = 0.
                                                   ′ y′ + a33
    Ïðèìåíèì ñòàíäàðòíîå óïðîùåíèå ê ÷àñòíîìó âèäó ëèíèè
âòîðîãî ïîðÿäêà, ò.å. ê ëèíèè âèäà
                                                     ′ =0.
                                                      (7.27)
                  a11 x′ 2 + 2a12 x′y′ + a22 y′ 2 + a33
     Ýòî åñòü óðàâíåíèå ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà, èìåþùåé öåíòð
èëè ïðÿìóþ öåíòðîâ. Òàê êàê ëèíåéíàÿ ÷àñòü îòñóòñòâóåò, òî íà-
÷àëî êîîðäèíàò ÏÑÊ åñòü öåíòð ëèíèè l . Ïîëîæèì äëÿ îïðåäå-
ë¸ííîñòè, ÷òî
13*

Страницы