Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 196 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

196
0
2
1222112
≠−= aaaI
,
ò.å. öåíòð îäèí.
Åñëè ïîâåðíóòü ñèñòåìó îñåé òàê, ÷òîáû îäíà èõ íèõ ñîâïà-
ëà ñ îäíèì èç ãëàâíûõ äèàìåòðîâ (ñ îäíîé èç îñåé ñèììåòðèè), òî
äðóãàÿ îñü ñîâïàä¸ò ñ äðóãèì ãëàâíûì äèàìåòðîì (äðóãîé îñüþ
ñèììåòðèè) è ìû ïîëó÷èì óðàâíåíèå, ãäå áóäåò îòñóòñòâîâàòü
ñëàãàåìîå
yxa
′′′
12
2
.
Ïîêàæåì, ÷òî åñëè ïîâåðíóòü îñè â ñîîòâåòñòâèè ñ (7.32) èëè
(7.33), ò.å. åñëè
0
12
=
′
a
, òî
111
a
′
=λ
è
222
a
′
=λ
, (7.35)
ãäå
1
λ è
2
λ åñòü êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (7.24).
Íàì èçâåñòíî, ÷òî ïðè ïðåîáðàçîâàíèè êîîðäèíàò
221122111
aaaaI
′
+
′
=+=
è
2211
2
122211
2
1222112
aaaaaaaaI
′′
=
′
−
′′
=−=
.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû â ñîîòâåòñòâèè ñ (7.26) èìååì
2
11
λ+λ=I è
212
λ⋅λ=I
è ìû ìîæåì ïîëîæèòü
111
a
′
=λ
è
222
a
′
=λ
è óðàâíåíèå (7.27) òîãäà ïðèìåò âèä
0
33
2
2
2
1
=
′
+
′
λ+
′
λ ayx
. (7.36)
7.6. Óïðîùåíèå óðàâíåíèÿ öåíòðàëüíîé ëèíèè âòîðîãî
ïîðÿäêà
Ïóñòü ëèíèÿ (7.3) öåíòðàëüíàÿ, ò.å.
0
2
1222112
≠−= aaaI
. (7.37)
Ïåðåíîñÿ íà÷àëî êîîðäèíàò â öåíòð
()
00
yxO,
′
ëèíèè, ò.å.
ïîëàãàÿ
196

                            I 2 = a11a22 − a12
                                            2
                                               ≠ 0,
ò.å. öåíòð îäèí.
      Åñëè ïîâåðíóòü ñèñòåìó îñåé òàê, ÷òîáû îäíà èõ íèõ ñîâïà-
ëà ñ îäíèì èç ãëàâíûõ äèàìåòðîâ (ñ îäíîé èç îñåé ñèììåòðèè), òî
äðóãàÿ îñü ñîâïàä¸ò ñ äðóãèì ãëàâíûì äèàìåòðîì (äðóãîé îñüþ
ñèììåòðèè) è ìû ïîëó÷èì óðàâíåíèå, ãäå áóäåò îòñóòñòâîâàòü
ñëàãàåìîå 2a12  ′ x ′y′ .
      Ïîêàæåì, ÷òî åñëè ïîâåðíóòü îñè â ñîîòâåòñòâèè ñ (7.32) èëè
(7.33), ò.å. åñëè a12′ = 0 , òî
                         ′ è λ 2 = a′22 ,
                   λ1 = a11                                        (7.35)
ãäå λ1 è λ 2 åñòü êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (7.24).
     Íàì èçâåñòíî, ÷òî ïðè ïðåîáðàçîâàíèè êîîðäèíàò
                                            ′ + a′22
                          I1 = a11 + a22 = a11
è
                 I 2 = a11a22 − a12
                                 2
                                       ′ a′22 − a12
                                    = a11               ′ a′22 .
                                                 ′ 2 = a11
     Ñ äðóãîé ñòîðîíû â ñîîòâåòñòâèè ñ (7.26) èìååì
                     I1 = λ 1 + λ 2 è I 2 = λ 1 ⋅ λ 2
è ìû ìîæåì ïîëîæèòü
                                ′ è λ 2 = a′22
                         λ1 = a11
è óðàâíåíèå (7.27) òîãäà ïðèìåò âèä
                                         ′ =0.
                   λ1 x′ 2 + λ 2 y′ 2 + a33                        (7.36)


7.6. Óïðîùåíèå óðàâíåíèÿ öåíòðàëüíîé ëèíèè âòîðîãî
     ïîðÿäêà

      Ïóñòü ëèíèÿ (7.3) öåíòðàëüíàÿ, ò.å.
                   I 2 = a11a22 − a12
                                   2
                                      ≠ 0.                         (7.37)
    Ïåðåíîñÿ íà÷àëî êîîðäèíàò â öåíòð O′(x0 , y0 ) ëèíèè, ò.å.
ïîëàãàÿ

Страницы