Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 198 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

198
 ýòîì ñëó÷àå
()
0
≠
k
0
2
2
2
1
=+
′′
λ+
′′
λ kyx
(7.41)
ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê
01
2
2
2
1
=+
′′
λ
+
′′
λ
y
k
x
k
. (7.42)
Ïîëàãàÿ
2
1
1
a
k
=
λ
è
2
2
1
b
k
=
λ
(7.43)
çàïèøåì (7.42) êàê
1
2
2
2
2
−=
′′
+
′′
b
y
a
x
, - ìíèìûé ýëëèïñ. (7.44)
Äëÿ òîãî, ÷òîáû ðåàëèçîâàëñÿ ìíèìûé ýëëèïñ, ò.å. ÷òîáû
1
λ è
2
λ áûëè îäíîãî çíàêà ñ ó÷¸òîì
0
21
2
=+λ+λ II
(7.25)
íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî ÷òîáû
0
2
>I , òàê êàê
212
λ⋅λ=I .
 ýòîì ñëó÷àå èç óñëîâèÿ
2
3
I
I
k =
ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî çíàê ó
k
áóäåò ñîâïàäàòü ñî çíàêîì
3
I
.
Äàëåå, òàê êàê
2122111
λ+λ=+= aaI ,
çíàê ó
1
λ è
2
λ áóäåò ñîâïàäàòü ñî çíàêîì
1
I
.
Èòàê, ìíèìûé ýëëèïñ õàðàêòåðèçóåòñÿ óñëîâèÿìè:
0
2
>I ,
0
3
≠I ,
3
I
è
1
I
îäíîãî çíàêà.
B.
1
λ è
2
λ îäíîãî çíàêà ïðîòèâîïîëîæíîãî çíàêó
k
(
1
λ± ,
2
λ± ,
km
).
Ïîëàãàÿ â (7.42)
198

       ýòîì ñëó÷àå (k ≠ 0)
                   λ1 x′′ 2 + λ 2 y′′ 2 + k = 0                   (7.41)
ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê
                   λ1 2 λ 2 2
                     x ′′ +   y′′ + 1 = 0 .                       (7.42)
                   k        k
      Ïîëàãàÿ
                   λ1   1  λ    1
                      = 2 è 2 = 2                                 (7.43)
                   k a      k  b
çàïèøåì (7.42) êàê
                   x ′′ 2       y′′ 2
                            +           = −1 , - ìíèìûé ýëëèïñ.   (7.44)
                    a   2
                                b2
     Äëÿ òîãî, ÷òîáû ðåàëèçîâàëñÿ ìíèìûé ýëëèïñ, ò.å. ÷òîáû
λ1 è λ 2 áûëè îäíîãî çíàêà ñ ó÷¸òîì

                   λ2 + I1λ + I 2 = 0                             (7.25)
íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî ÷òîáû I 2 > 0 , òàê êàê
                                        I 2 = λ1 ⋅ λ 2 .
       ýòîì ñëó÷àå èç óñëîâèÿ
                                                I3
                                           k=
                                                I2
ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî çíàê ó k áóäåò ñîâïàäàòü ñî çíàêîì I 3 .
     Äàëåå, òàê êàê
                       I1 = a11 + a22 = λ1 + λ 2 ,
çíàê ó λ1 è λ 2 áóäåò ñîâïàäàòü ñî çíàêîì I1 .
     Èòàê, ìíèìûé ýëëèïñ õàðàêòåðèçóåòñÿ óñëîâèÿìè:
                I 2 > 0 , I 3 ≠ 0 , I 3 è I1 îäíîãî çíàêà.
B. λ1 è λ 2 îäíîãî çíàêà ïðîòèâîïîëîæíîãî çíàêó k ( ± λ1 , ±λ 2 , m k ).
     Ïîëàãàÿ â (7.42)

Страницы