Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 199 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

199
2
1
1
a
k
−=
λ
è
2
2
1
b
k
−=
λ
(7.45)
ïðèâåä¸ì åãî ê âèäó
01
2
2
2
2
=+
′′
−
′′
−
b
y
a
x
èëè
1
2
2
2
2
=
′′
+
′′
b
y
a
x
- äåéñòâèòåëüíûé ýëëèïñ. (7.46)
 ýòîì ñëó÷àå
0
212
>λ⋅λ=I , òàê êàê çíàêè
1
λ è
2
λ ñîâïàäà-
þò, çíàê
211
λ+λ=I òîæå ñîâïàäàåò ñî çíàêîì
1
λ è
2
λ , çíàê ó
k
ñîâïàäàåò ñî çíàêîì
3
I
è ïðîòèâîïîëîæåí çíàêó
1
I
, òîãäà èç
2
3
I
I
k =
ñëåäóåò, ÷òî çíàê ó
3
I
ïðîòèâîïîëîæåí çíàêó
1
I
.
Òàêèì îáðàçîì äåéñòâèòåëüíûé ýëëèïñ ðåàëèçóåòñÿ åñëè
0
2
>I ,
0
3
≠I ,
3
I
è
1
I
ðàçíûõ çíàêîâ.
C.
1
λ è
2
λ èìåþò ðàçíûå çíàêè (
1
λ± ,
2
λm ),
0
3
≠I .
 ýòîì ñëó÷àå
0
212
<λ⋅λ=I è ïîëàãàÿ â (7.42)
2
1
1
a
k
m=
λ
è
2
2
1
b
k
±=
λ
, (7.47)
ïîëó÷èì
1
2
2
2
2
±=
′′
−
′′
b
y
a
x
- ãèïåðáîëà. (7.48)
Ñëó÷àé ãèïåðáîëû õàðàêòåðèçóåòñÿ óñëîâèÿìè
0
2
<I ,
0
3
≠I è, êàê ýòî ñëåäóåò èç (7.25),
0
1
≠I .
II.
0=k
èëè â ñèëó (7.40) -
0
3
=I .
 ýòîì ñëó÷àå (7.41) ïðèìåò âèä
                                                                                  199

                           λ1    1  λ     1
                              =− 2 è 2 =− 2                                   (7.45)
                           k    a    k   b
ïðèâåä¸ì åãî ê âèäó
                                                x ′′ 2       y′′ 2
                                          −              −           +1 = 0
                                                a2           b2
èëè
              x ′′ 2       y′′ 2
                       +            = 1 - äåéñòâèòåëüíûé ýëëèïñ.              (7.46)
               a2          b2
       ýòîì ñëó÷àå I 2 = λ1 ⋅ λ 2 > 0 , òàê êàê çíàêè λ1 è λ 2 ñîâïàäà-
þò, çíàê I1 = λ1 + λ 2 òîæå ñîâïàäàåò ñî çíàêîì λ1 è λ 2 , çíàê ó k
ñîâïàäàåò ñî çíàêîì I 3 è ïðîòèâîïîëîæåí çíàêó I1 , òîãäà èç
                                                               I3
                                                         k=
                                                               I2
ñëåäóåò, ÷òî çíàê ó I 3 ïðîòèâîïîëîæåí çíàêó I1 .
    Òàêèì îáðàçîì äåéñòâèòåëüíûé ýëëèïñ ðåàëèçóåòñÿ åñëè
               I 2 > 0 , I 3 ≠ 0 , I 3 è I1 ðàçíûõ çíàêîâ.
C. λ1 è λ 2 èìåþò ðàçíûå çíàêè ( ± λ1 , m λ 2 ), I 3 ≠ 0 .
       ýòîì ñëó÷àå I 2 = λ1 ⋅ λ 2 < 0 è ïîëàãàÿ â (7.42)
                           λ1    1  λ     1
                              =m 2 è 2 =± 2 ,                                 (7.47)
                           k    a    k   b
ïîëó÷èì
                           x ′′ 2       y′′ 2
                                    −            = ±1 - ãèïåðáîëà.            (7.48)
                            a2          b2
      Ñëó÷àé ãèïåðáîëû õàðàêòåðèçóåòñÿ óñëîâèÿìè
         I 2 < 0 , I 3 ≠ 0 è, êàê ýòî ñëåäóåò èç (7.25), I1 ≠ 0 .


      II. k = 0 èëè â ñèëó (7.40) - I 3 = 0 .
       ýòîì ñëó÷àå (7.41) ïðèìåò âèä

Страницы