Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 201 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

201
7.7. Óïðîùåíèå óðàâíåíèÿ ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà
áåç îïðåäåë¸ííîãî öåíòðà
Íàì îñòà¸òñÿ ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà êîýôôèöèåíòû óðàâ-
íåíèÿ (7.3)
0222
332313
2
2212
2
11
=+++++ ayaxayaxyaxa
(7.3)
óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèþ, õàðàêòåðèçóþùåìó ïàðàáîëè÷åñ-
êèé òèï ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà
0
2
1222112
=−= aaaI
. (7.56)
 ýòîì ñëó÷àå ëèíèÿ, â ñîîòâåòñòâèè ñ ðåøåíèåì ñèñòåìû
(7.28), èëè âîâñå íå èìååò öåíòðà, èëè èìååò ïðÿìóþ öåíòðîâ.
Íà÷í¸ì ïðåîáðàçîâàíèå (7.3) ñ ïîâîðîòà îñåé, ÷òîáû ïðèâå-
ñòè êâàäðàòè÷íóþ ôîðó
2
2212
2
11
2
yaxyaxa ++
ê âèäó
2
2
2
1
yx
′
λ+
′
λ
.
Äëÿ ýòîãî, êàê ìû óæå çíàåì, íàäî ïîâåðíóòü êîîðäèíàòíûå
îñè íà óãîë
ϕ
, îïðåäåëÿåìûé ñîîòíîøåíèåì
2211
12
2
2
aa
a
tg
−
=ϕ
. (7.33)
Âåëè÷èíû
1
λ è
2
λ îïðåäåëÿòñÿ èç óðàâíåíèÿ
0
2221
1211
=
λ−
λ−
aa
aa
(7.24)
èëè
0
21
2
=+λ−λ II
, (7.25)
êîòîðîå â ñèëó (7.56)
0
2
=I ïðèìåò âèä
0
1
2
=λ−λ I
. (7.57)
Òàêèì îáðàçîì ìû ìîæåì ïðèíÿòü
0
1
=λ ,
12
I=λ
,
â ñèëó ÷åãî óðàâíåíèå (7.3) ïðèìåò âèä
                                                                     201
7.7. Óïðîùåíèå óðàâíåíèÿ ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà
     áåç îïðåäåë¸ííîãî öåíòðà

    Íàì îñòà¸òñÿ ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà êîýôôèöèåíòû óðàâ-
íåíèÿ (7.3)
                                                 (7.3)
       a11 x 2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0
óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèþ, õàðàêòåðèçóþùåìó ïàðàáîëè÷åñ-
êèé òèï ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà
                       I 2 = a11a22 − a12
                                       2
                                          =0.          (7.56)
      ýòîì ñëó÷àå ëèíèÿ, â ñîîòâåòñòâèè ñ ðåøåíèåì ñèñòåìû
(7.28), èëè âîâñå íå èìååò öåíòðà, èëè èìååò ïðÿìóþ öåíòðîâ.
     Íà÷í¸ì ïðåîáðàçîâàíèå (7.3) ñ ïîâîðîòà îñåé, ÷òîáû ïðèâå-
ñòè êâàäðàòè÷íóþ ôîðó
                                a11 x 2 + 2a12 xy + a22 y 2
ê âèäó
                                    λ1 x ′ 2 + λ 2 y ′ 2 .
     Äëÿ ýòîãî, êàê ìû óæå çíàåì, íàäî ïîâåðíóòü êîîðäèíàòíûå
îñè íà óãîë ϕ , îïðåäåëÿåìûé ñîîòíîøåíèåì
                                   2a12
                      tg 2ϕ =
                                 a11 − a22 .                     (7.33)

      Âåëè÷èíû λ1 è λ 2 îïðåäåëÿòñÿ èç óðàâíåíèÿ
                       a11 − λ       a12
                                             =0                  (7.24)
                         a21       a22 − λ
èëè
                      λ2 − I1λ + I 2 = 0 ,                       (7.25)
êîòîðîå â ñèëó (7.56) I 2 = 0 ïðèìåò âèä
                      λ2 − I1λ = 0 .                             (7.57)
     Òàêèì îáðàçîì ìû ìîæåì ïðèíÿòü
                          λ1 = 0 , λ 2 = I1 ,
â ñèëó ÷åãî óðàâíåíèå (7.3) ïðèìåò âèä

Страницы