Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 202 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

202
022
332313
2
1
=+
′′
+
′′
+
′
ayaxayI
. (7.58)
Îòìåòèì åù¸ îäèí ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ óðàâíåíèÿ (7.58). Çàìå-
òèì, ÷òî åñëè
0
11
=a , òî âû ñèëó (7.56) è
0
12
=a , è óðàâíåíèå (7.3)
ñðàçó èìååò âèä (7.58).
Ïóñòü
0
12
≠a , òîãäà êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó ìîæíî ïðåîáðà-
çîâàòü òàê:
()
=++=++
2
22111211
22
11
11
2
2212
2
11
2
1
2
yaaxyaaxa
a
yaxyaxa
()
()
2
1211
11
22
121211
22
11
11
1
2
1
yaxa
a
yaxyaaxa
a
+=++=
.
Çäåñü ìû ó÷ëè, ÷òî èç (7.56) ñëåäóåò
2
122211
aaa =
.
Òåïåðü óðàâíåíèå (7.3) ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó
()
022
1
332313
2
1211
11
=++++
ayaxayaxa
a
. (7.59)
Äëÿ ïðèâåäåíèÿ (7.59) ê âèäó (7.58) äîñòàòî÷íî ïîâåðíóòü
îñè êîîðäèíàò òàê, ÷òîáû íîâàÿ îñü
xO
′
ñîâïàëà ñ ïðÿìîé
0
1211
=+ yaxa ,
èáî â òàêîì ñëó÷àå ìû áóäåì èìåòü
ykyaxa
′
=+
1211
, (7.60)
ãäå
k
- íåêîòîðîå ÷èñëî.
Ïðè ïîâîðîòå îñåé íà óãîë
ϕ
(ñì. 4.25) èìååì
ϕ+ϕ−=
′
cossin yxy
.
Ïîäñòàâëÿÿ
y
′
â (7.60) ïîëó÷èì
()
ϕ+ϕ−=+
cossin yxkyaxa
1211
,
îòêóäà
ykxkyaxa ⋅ϕ+⋅ϕ−=+ cossin
1211
.
Ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè ïåðåìåííûõ, ïîëó÷èì
202

                         I1 y′ 2 + 2a13       ′ y′ + a33 = 0 .
                                     ′ x′ + 2a23                               (7.58)

     Îòìåòèì åù¸ îäèí ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ óðàâíåíèÿ (7.58). Çàìå-
òèì, ÷òî åñëè a11 = 0 , òî âû ñèëó (7.56) è a12 = 0 , è óðàâíåíèå (7.3)
ñðàçó èìååò âèä (7.58).
     Ïóñòü a12 ≠ 0 , òîãäà êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó ìîæíî ïðåîáðà-
çîâàòü òàê:

         a11 x 2 + 2a12 xy + a22 y 2 =
                                         a11
                                            (
                                          1 2 2
                                                                           )
                                             a11 x + 2a11a12 xy + a11a22 y 2 =


             =
                 a11
                     (
                  1 2 2
                     a11 x + 2a11a12 xy + a12
                                           2 2
                                              y =  )
                                                   1
                                                  a11
                                                      (a11x + a12 y)2 .
      Çäåñü ìû ó÷ëè, ÷òî èç (7.56) ñëåäóåò
                                      a11a22 = a12
                                                2
                                                   .
      Òåïåðü óðàâíåíèå (7.3) ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó
                  1
                     (a11x + a12 y)2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0 .             (7.59)
                 a11
    Äëÿ ïðèâåäåíèÿ (7.59) ê âèäó (7.58) äîñòàòî÷íî ïîâåðíóòü
îñè êîîðäèíàò òàê, ÷òîáû íîâàÿ îñü Ox′ ñîâïàëà ñ ïðÿìîé
                              a11 x + a12 y = 0 ,
èáî â òàêîì ñëó÷àå ìû áóäåì èìåòü
                 a11 x + a12 y = ky′ ,                                         (7.60)
ãäå k - íåêîòîðîå ÷èñëî.
     Ïðè ïîâîðîòå îñåé íà óãîë ϕ (ñì. 4.25) èìååì
                          y′ = − x sin ϕ + y cos ϕ .
      Ïîäñòàâëÿÿ y′ â (7.60) ïîëó÷èì
                         a11 x + a12 y = k (− x sin ϕ + y cos ϕ) ,
îòêóäà
                a11 x + a12 y = − k sin ϕ ⋅ x + k cos ϕ ⋅ y .
      Ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè ïåðåìåííûõ, ïîëó÷èì

Страницы