Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 203 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

203
11
ak −=ϕsin
,
12
ak =ϕcos
(7.61)
èëè
2
11
22
ak =ϕsin
,
2
12
22
ak =ϕcos
.
Ñêëàäûâàÿ ëåâûå è ïðàâûå ÷àñòè ïîñëåäíèõ ðàâåíñòâ ïîëó-
÷èì
()
()
111221111
2211
2
112211
2
12
2
12
2
11
222
Iaaaa
aaaaaaaak
=+=
=+===+=ϕ+ϕ
cossin
èëè
111
2
Iak =
,
ò.å.
111
Iak ±=
. (7.62)
Ðàâåíñòâà (7.61) ìîæíî òåïåðü çàïèñàòü òàê
111
12
Ia
a
±
=ϕcos
,
111
11
Ia
a
±
−
=ϕsin
, (7.63)
èëè
22
12
12
11
a
a
a
a
tg −=−=ϕ
, (7.64)
òàê êàê
22
12
2212
2
12
2212
2211
12
11
a
a
aa
a
aa
aa
a
a
===
, ãäå
2
122211
aaa
=
.
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî (7.33) åñòü ñëåäñòâèå (7.63) è (7.64).
Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííûå
ϕcos
è
ϕsin
â (7.59) ñ ó÷¸òîì (7.60)
ïîëó÷èì:
022
332313
2
11
2
=+
′′
+
′′
+
′
ayaxay
a
k
,
à òàê êàê
111
Iak ±=
, (7.62)
ìû ñðàçó ïîëó÷àåì óðàâíåíèå (7.58).
                                                                                  203

                       k sin ϕ = −a11 , k cos ϕ = a12                         (7.61)
èëè
                         k 2 sin 2 ϕ = a11
                                        2
                                           , k 2 cos 2 ϕ = a12
                                                            2
                                                               .
       Ñêëàäûâàÿ ëåâûå è ïðàâûå ÷àñòè ïîñëåäíèõ ðàâåíñòâ ïîëó-
÷èì
            (                )
          k 2 sin 2 ϕ + cos 2 ϕ = a11
                                   2
                                      + a12
                                         2
                                            = a12
                                               2
                                                  = a11a22 = a11
                                                              2
                                                                 + a11a22 =
                                 = a11 (a11 + a22 ) = a11 I1
èëè
                                        k 2 = a11 I1 ,
ò.å.
                       k = ± a11 I1 .                                         (7.62)
       Ðàâåíñòâà (7.61) ìîæíî òåïåðü çàïèñàòü òàê
                                     a12                       −a
                       cos ϕ =             , sin ϕ = ± a I ,
                                                        11
                                                                              (7.63)
                                  ± a11 I1              11 1

èëè
                                  a11    a
                       tgϕ = −        = − 12 ,                                (7.64)
                                  a12    a22
òàê êàê
                 a11 a11a22    a2    a
                    =       = 12 = 12 , ãäå a a = a 2 .
                 a12 a12 a22 a12 a22 a22     11 22 12

    Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî (7.33) åñòü ñëåäñòâèå (7.63) è (7.64).
    Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííûå cos ϕ è sin ϕ â (7.59) ñ ó÷¸òîì (7.60)
ïîëó÷èì:
                        k2 2
                            y′ + 2a13
                                   ′ x ′ + 2a23
                                             ′ y′ + a33 = 0 ,
                        a11
à òàê êàê
                       k = ± a11I1 ,                                          (7.62)
ìû ñðàçó ïîëó÷àåì óðàâíåíèå (7.58).

Страницы