Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 204 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

204
Çàìåòèì, ÷òî èñïîëüçóÿ (7.63) ìû ìîæåì ïåðåïèñàòü ôîðìó-
ëû (7.15) è (7.16) òàê:
111
11231213
231313
Ia
aaaa
aaa
±
−
=ϕ+ϕ=
′
sincos
, (7.65)
111
11131223
132323
Ia
aaaa
aaa
±
+
=ϕ−ϕ=
′
sincos
. (7.66)
Ñîñòàâèì èíâàðèàíò
3
I
äëÿ óðàâíåíèÿ
022
332313
2
1
=+
′′
+
′′
+
′
ayaxayI
. (7.58)
1
2
13
231
13
13
332313
231
13
3
0
0
00
Ia
aI
a
a
aaa
aI
a
I
′
−=
′
′
′
−=
′′
′
′
=
èëè
1
3
13
I
I
a −±=
′
. (7.67)
Çàìåòèì, ÷òî â (7.67)
1
I
è
3
I
äîëæíû áûòü ðàçíûõ çíàêîâ.
Ðàññìîòðèì òåïåðü äâà ñëó÷àÿ.
À.
0
3
≠I - ïàðàáîëà.
Åñëè
0
3
≠I , òî èç (7.67) ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî è
0
13
≠
′
a
.
Ïóò¸ì ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà íà÷àëà êîîðäèíàò
yxO
′′
â
òî÷êó
()
βα
′′
,O
óðàâíåíèå (7.58) ïåðåéä¸ò (ñì. (7.10)) â óðàâíåíèå
022
332313
2
1
=
′′
+
′′′′
+
′′′′
+
′′
ayaxayI
. (7.68)
Íàøà çàäà÷à ñîñòîèò â òàêîì ïîäáîðå êîîðäèíàò òî÷êè
()
βα
′′
,O
, ÷òîáû òðåòèé
()
23
a
′′
è ÷åòâ¸ðòûé
()
33
a
′′
êîýôôèöèåíòû â
ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (7.68) èñ÷åçëè (ñòàëè íóëÿìè).
Ïîëàãàÿ
204
     Çàìåòèì, ÷òî èñïîëüçóÿ (7.63) ìû ìîæåì ïåðåïèñàòü ôîðìó-
ëû (7.15) è (7.16) òàê:
                                              a13 a12 − a23 a11
              ′ = a13 cos ϕ + a23 sin ϕ =
             a13                                                   ,      (7.65)
                                                  ± a11 I1

                                               a23 a12 + a13 a11
             a′23 = a23 cos ϕ − a13 sin ϕ =                        .      (7.66)
                                                  ± a11 I1


      Ñîñòàâèì èíâàðèàíò I 3 äëÿ óðàâíåíèÿ
             I1 y′ 2 + 2a13        ′ y′ + a33 = 0 .
                         ′ x ′ + 2a23                                     (7.58)

                       0      0      ′
                                    a13
                                              0          ′
                                                        a13
                I3 = 0       I1      ′ = −a13
                                    a23    ′                     ′ 2 I1
                                                            = − a13
                                              I1         ′
                                                        a23
                      ′
                     a13      ′
                             a23    a33
èëè
                                   I3
                      ′ =± −
                     a13
                                   I1 .                                   (7.67)

      Çàìåòèì, ÷òî â (7.67) I1 è I 3 äîëæíû áûòü ðàçíûõ çíàêîâ.


      Ðàññìîòðèì òåïåðü äâà ñëó÷àÿ.
      À. I 3 ≠ 0 - ïàðàáîëà.
                                                        ′ ≠0.
      Åñëè I 3 ≠ 0 , òî èç (7.67) ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî è a13
      Ïóò¸ì ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà íà÷àëà êîîðäèíàò Ox′y′ â
òî÷êó O′′(α,β) óðàâíåíèå (7.58) ïåðåéä¸ò (ñì. (7.10)) â óðàâíåíèå
                     I1 y′′ 2 + 2a13
                                  ′′ x ′′ + 2a′23       ′′ = 0 .
                                               ′ y′′ + a33  (7.68)
      Íàøà çàäà÷à ñîñòîèò â òàêîì ïîäáîðå êîîðäèíàò òî÷êè
O′′(α, β ) , ÷òîáû òðåòèé (a23
                            ′′ ) è ÷åòâ¸ðòûé (a33
                                               ′′ ) êîýôôèöèåíòû â
ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (7.68) èñ÷åçëè (ñòàëè íóëÿìè).
      Ïîëàãàÿ

Страницы