Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 189 стр.

                                                                                189

                                ′ + a22
                               a11   ′ = a11 + a22 .
      Èòàê, ìû âèäèì, ÷òî ïðè ïîâîðîòå ÏÑÊ âåëè÷èíû a11 è a22
èçìåíÿþòñÿ êàæäàÿ â îòäåëüíîñòè (îáðàùàÿñü â íîâûå âåëè÷è-
íû a11′ è a22
           ′ ), íî èõ ñóììà îñòà¸òñÿ íåèçìåííîé. Íåèçìåííûìè ýòè
âåëè÷èíû, êàê ìû ýòî âûÿñíèëè ðàíåå, îñòàþòñÿ è ïðè ïàðàëëåëü-
íîì ïåðåíîñå ÏÑÊ.
      Èòàê, ñóììà êîýôôèöèåíòîâ ïðè êâàäðàòàõ ïåðåìåííûõ â
(7.3)
                    I1 = a11 + a22                        (7.19)
îñòà¸òñÿ íåèçìåííîé ïî îòíîøåíèþ ê ïàðàëëåëüíîìó ïåðåíîñó è
ïîâîðîòó ÏÑÊ. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî âûðàæàþò, ãîâîðÿ, ÷òî I1
åñòü èíâàðèàíò óðàâíåíèÿ (7.3) ïðè óêàçàííûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ
ÏÑÊ.
      Âîîáùå, âñÿêàÿ ôóíêöèÿ
                            f (a11 , a12 , a22 , a13 , a23 , a33 )
îò êîýôôèöèåíòîâ óðàâíåíèÿ (7.3) íàçûâàåòñÿ èíâàðèàíòîì ïðè
ïðåîáðàçîâàíèè ÏÑÊ, åñëè çíà÷åíèå ýòîé ôóíêöèè îñòà¸òñÿ íå-
èçìåííûì ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé ÏÑÊ ê äðóãîé, ò.å. åñëè
           f (a11
               ′ , a12
                    ′ , a22
                         ′ , a13
                              ′ , a23   ′ ) = f (a11, a12 , a22 , a13 , a23 , a33 ) .
                                   ′ , a33
     Îñíîâíîå çíà÷åíèå ïîíÿòèÿ èíâàðèàíòà ñòàíåò ÿñíûì, åñëè
çàìåòèòü, ÷òî âûðàæåíèå âèäà f (a11 , a12 , a22 , a13 , a23 , a33 ) òîëüêî â òîì
ñëó÷àå ìîæåò ïðåäñòàâëÿòü ãåîìåòðè÷åñêóþ âåëè÷èíó, õàðàêòåð-
íóþ äëÿ ñàìîé ðàññìàòðèâàåìîé ëèíèè, à íå çàâèñÿùóþ îò ñëó-
÷àéíîãî ïîëîæåíèÿ îñåé êîîðäèíàò, åñëè òîëüêî ýòî âûðàæåíèå
åñòü èíâàðèàíò. Ïîýòîìó âîïðîñ îá îòûñêàíèè èíâàðèàíòîâ - åñòü
îäèí èç ñàìûõ âàæíûõ êàê â òåîðèè ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà, òàê è
â ãåîìåòðèè âîîáùå.
     Ïðèâåä¸ì åù¸ îäèí ïðèìåð èíâàðèàíòà ëèíèè âòîðîãî ïî-
ðÿäêà. Èç óðàâíåíèé (7.12) ÷ (7.14) ñëåäóåò:
                     ′ − a′22 = (a11 − a22 )cos 2ϕ + 2a12 sin 2ϕ ,
                   a11
                       ′ = −(a11 − a22 )sin 2ϕ + 2a12 cos 2ϕ .
                     2a12
      Âîçâîäÿ ýòè ðàâåíñòâà â êâàäðàò è ñêëàäûâàÿ, ïîëó÷èì