Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

20
1.6. Óìíîæåíèå ìàòðèö
Äëÿ íåêîòîðûõ ìàòðèö
A
è
B
ìîæåò áûòü îïðåäåëåíî èõ
ïðîèçâåäåíèå
AB
. Ýòî ìîæíî ñäåëàòü åñëè ÷èñëî ñòîëáöîâ ìàòðè-
öû
A
ðàâíî ÷èñëó ñòðîê ìàòðèöû
B
, ò.å. åñëè íàì çàäàíû ìàòðè-
öû
nm
A
×
è
rn
B
×
. Ïðè ýòîì ìû ïîëó÷èì ìàòðèöó
rnnmrm
BAC
×××
⋅=
. (1.11)
Ïóñòü
A
- ñòðîêà äëèíîé
n
, à
B
- ñòîëáåö âûñîòîé
n
, òîãäà â
ñîîòâåòñòâèè ñ (1.11)
1111 ×××
⋅=
nn
BAC
åñòü ìàòðèöà ðàçìåðà
11×
,
ò.å. ïðîñòî ÷èñëî:
()
i
i
n
n
n
n
babababa
b
b
b
aaaBA
=+++=
⋅=⋅
...
...
...
2
2
1
1
2
1
21
. (1.12)
Ïðèìåð.
()
231
=
A
,
()
T
B
714
=
.
()
211434721341
7
1
4
231
=++=⋅+⋅+⋅=
⋅=⋅=
BAC
.
Ðàññìîòðèì òåïåðü äâå ïðîèçâîëüíûå ìàòðèöû
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
è
=
nrnn
r
r
bbb
bbb
bbb
B
...
............
...
...
21
22221
11211
.
Ïðåäñòàâèì ìàòðèöó
A
âèäå
m
ñòðîê
()
inii
aaa
...
21
,
mi ,...,1=
,
à ìàòðèöó
B
â âèäå
r
ñòîëáöîâ
20
1.6. Óìíîæåíèå ìàòðèö

    Äëÿ íåêîòîðûõ ìàòðèö A è B ìîæåò áûòü îïðåäåëåíî èõ
ïðîèçâåäåíèå AB . Ýòî ìîæíî ñäåëàòü åñëè ÷èñëî ñòîëáöîâ ìàòðè-
öû A ðàâíî ÷èñëó ñòðîê ìàòðèöû B , ò.å. åñëè íàì çàäàíû ìàòðè-
öû Am× n è Bn× r . Ïðè ýòîì ìû ïîëó÷èì ìàòðèöó
            Cm× r = Am× n ⋅ Bn× r .                    (1.11)
      Ïóñòü A - ñòðîêà äëèíîé n , à B - ñòîëáåö âûñîòîé n , òîãäà â
ñîîòâåòñòâèè ñ (1.11) C1×1 = A1× n ⋅ Bn×1 åñòü ìàòðèöà ðàçìåðà 1× 1 ,
ò.å. ïðîñòî ÷èñëî:

                             b1 
                             
                             b2 
A ⋅ B = (a1 a2    ... an )⋅   = a1b1 + a2b 2 + ... + anb n = ai b i .   (1.12)
                             ... 
                             bn 
                             
Ïðèìåð.
                      A = (1 3 2 ) , B = (4 1 7 )T .

                             4
                             
      C = A ⋅ B = (1 3 2 )⋅  1  = 1 ⋅ 4 + 3 ⋅1 + 2 ⋅ 7 = 4 + 3 + 14 = 21 .
                            7
                             
     Ðàññìîòðèì òåïåðü äâå ïðîèçâîëüíûå ìàòðèöû

           a11      a12    ... a1n        b11 b12 ... b1r 
                                                           
           a21      a22    ... a2 n      
                                       è B=
                                             b21 b22 ... b2 r 
                                                                .
        A=
            ...      ...    ... ...         ... ... ... ... 
                                                           
          a                ... amn      b                 
           m1       am 2                   n1 bn 2 ... bnr 
     Ïðåäñòàâèì ìàòðèöó A âèäå m ñòðîê
                 (ai1 ai 2 ... ain ), i = 1,..., m ,
à ìàòðèöó B â âèäå r ñòîëáöîâ

Страницы