Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 215 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

215
()
0
=
zyxF,,
,
ãäå
F
- îäíîðîäíàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà
åñëè òî÷êà
()
SzyxM
∈
,,
, òî ïðè ëþáîì
λ
â ñèëó (8.12) òî÷êà
()
SzyxN
∈λλλ
,,
.
Ðàäèóñ-âåêòîðû òî÷åê (ðèñ. 8.11) áóäóò
êîëëèíåàðíû, â ñèëó ÷åãî òî÷êà
N
áó-
äåò ëåæàòü íà ïðÿìîé
OM
.
Îïðåäåëåíèå 8.3. Ïîâåðõíîñòü, êîòîðàÿ
ñîñòîèò èç ïðÿìûõ ëèíèé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ôèêñèðîâàííóþ
òî÷êó
O
, íàçûâàåòñÿ êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ èëè êîíóñîì. Ïðÿ-
ìûå ëèíèè íàçûâàþòñÿ å¸ îáðàçóþùèìè, òî÷êà
O
- âåðøèíîé êî-
íóñà. Ëèíèÿ, ëåæàùàÿ íà ïîâåðõíîñòè, íå ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç âåð-
øèíó êîíóñà è ïåðåñåêàþùàÿ âñå îáðàçóþùèå, íàçûâàåòñÿ íàïðàâ-
ëÿþùåé ëèíèåé.
Èòàê, ïîëàãàÿ â (8.12)
2=s
ìû ðàññìîòðèì êîíóñû âòîðîãî
ïîðÿäêà
()
0
=
zyxF,,
.
Òèï [10]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.12) ïðèíàäëåæàò äåéñòâèòåëüíûå
êîíóñû âòîðîãî ïîðÿäêà - ïîâåðõíîñòè èìå-
þùèå â ÏÑÊ
Oxyz
óðàâíåíèå âèäà
0
2
2
2
2
2
2
=−+
c
z
b
y
a
x
, (8.13)
ãäå
0>≥ ba
,
0>c
,
1
111
222
=++
cba
.
Êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè ÿâëÿþòñÿ
ïëîñêîñòÿìè ñèììåòðèè êîíóñà (8.13), à íà-
÷àëî êîîðäèíàò - åãî öåíòðîì ñèììåòðèè.
Ïåðåñå÷¸ì êîíóñ (8.13) ïëîñêîñòüþ
hz =
, ïàðàëëåëüíîé ïëîñêîñòè
Oxy
. Çäåñü
h
- ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî.  ïåðåñå÷åíèè (ðèñ.
8.12) ïîëó÷èòñÿ ëèíèÿ
Ðèñ. 8.11.
l
N
M
z
y
x
O
Ðèñ. 8.12.
z
y
x
O
                                                                                                    215

                         F (x, y, z ) = 0 ,
                                                                             z   l       N
ãäå F - îäíîðîäíàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà
åñëè òî÷êà M (x, y, z )∈ S , òî ïðè ëþáîì
λ â ñèëó (8.12) òî÷êà N (λx, λy, λz )∈ S .                                           M
Ðàäèóñ-âåêòîðû òî÷åê (ðèñ. 8.11) áóäóò              y
êîëëèíåàðíû, â ñèëó ÷åãî òî÷êà N áó-                       x
äåò ëåæàòü íà ïðÿìîé OM .                  O          Ðèñ. 8.11.
Îïðåäåëåíèå 8.3. Ïîâåðõíîñòü, êîòîðàÿ
ñîñòîèò èç ïðÿìûõ ëèíèé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ôèêñèðîâàííóþ
òî÷êó O , íàçûâàåòñÿ êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ èëè êîíóñîì. Ïðÿ-
ìûå ëèíèè íàçûâàþòñÿ å¸ îáðàçóþùèìè, òî÷êà O - âåðøèíîé êî-
íóñà. Ëèíèÿ, ëåæàùàÿ íà ïîâåðõíîñòè, íå ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç âåð-
øèíó êîíóñà è ïåðåñåêàþùàÿ âñå îáðàçóþùèå, íàçûâàåòñÿ íàïðàâ-
ëÿþùåé ëèíèåé.

    Èòàê, ïîëàãàÿ â (8.12) s = 2 ìû ðàññìîòðèì êîíóñû âòîðîãî
ïîðÿäêà F (x, y, z ) = 0 .

Òèï [10]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.12) ïðèíàäëåæàò äåéñòâèòåëüíûå
êîíóñû âòîðîãî ïîðÿäêà - ïîâåðõíîñòè èìå-
                                                    z
þùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà
      x2        y2       z2
            +        −        =0,                                   (8.13)
       a2       b2       c2
                                 1           1           1
ãäå a ≥ b > 0 , c > 0 ,                  +           +        =1.
                                 a   2
                                             b   2
                                                         c2
      Êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè ÿâëÿþòñÿ                                                    O
                                                                                                     y
ïëîñêîñòÿìè ñèììåòðèè êîíóñà (8.13), à íà-
÷àëî êîîðäèíàò - åãî öåíòðîì ñèììåòðèè.      x
      Ïåðåñå÷¸ì êîíóñ (8.13) ïëîñêîñòüþ
z = h , ïàðàëëåëüíîé ïëîñêîñòè Oxy . Çäåñü h
- ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî.  ïåðåñå÷åíèè (ðèñ.
8.12) ïîëó÷èòñÿ ëèíèÿ
                                                                                             Ðèñ. 8.12.

Страницы