Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 216 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

216
0
2
2
2
2
2
2
=−+
c
h
b
y
a
x
,
hz =
,
ïðîåêöèÿ êîòîðîé íà ïëîñêîñòü
Oxy
äà¸òñÿ óðàâíåíèåì
0
2
2
2
2
2
2
=−+
c
h
b
y
a
x
èëè
2
2
2
2
2
2
c
h
b
y
a
x
=+
.
Ðàçäåëèâ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî íà
2
2
c
h
ïîëó÷èì
1
2
22
2
2
22
2
=+
c
hb
y
c
ha
x
èëè
1
2
2
2
2
=
′
+
′
b
y
a
x
,
ãäå
h
c
a
a ⋅=
′
,
h
c
b
b ⋅=
′
- ïîëóîñè ýëëèïñà.
Òàêèì îáðàçîì, ïåðåñå÷åíèå êîíóñà (8.13) ïëîñêîñòüþ
hz =
åñòü ýëëèïñ ñ ïîëóîñÿìè
a
′
è
b
′
, ñ öåíòðîì íà îñè
Oz
. Ëþáîé
òàêîé ýëëèïñ ìîæíî âçÿòü â êà÷åñòâå íàïðàâëÿþùåé êîíóñà (8.13).
 ÷àñòíîñòè, åñëè ïîëîæèòü
ba =
ìû ïîëó÷èì ïðÿìîé êðóãî-
âîé êîíóñ
0
2222
=−+ zkyx
, (8.14)
ãäå
c
a
k =
.
Ïåðåñåêàÿ ïðÿìîé êðóãîâîé êîíóñ (8.14) ïëîñêîñòÿìè
hz =
,
0≠h
, ìû áóäåì ïîëó÷àòü îêðóæíîñòè
2222
hkyx =+
ðàäèóñà
hkR ⋅=
ñ öåíòðàìè íà îñè
OZ
.
Ïëîñêîñòü
0=z
ïåðåñå÷¸ò êîíóñ (8.14) ïî òî÷êå
O
, à ïëîñ-
êîñòè
0=x
è
0=y
ïåðåñåêóò êîíóñ ïî îáðàçóþùèì.
Ïëîñêîñòè
hx =
è
hy =
ïðè
0≠h
ïåðåñåêóò êîíóñ (8.13) ïî
ãèïåðáîëàì (ðèñ. 8.13à) ñ ïîëóîñÿìè
216

                          x2        y2       h2
                               +         −        = 0, z = h ,
                          a2        b2       c2
ïðîåêöèÿ êîòîðîé íà ïëîñêîñòü Oxy äà¸òñÿ óðàâíåíèåì
                x2        y2       h2                x2        y2       h2
                      +        −        = 0 èëè           +         =        .
                a2        b2       c2                a2        b2       c2

                                                          h2
      Ðàçäåëèâ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî íà                           ïîëó÷èì
                                                          c2

                  x2               y2
                           +             =1           x2 y2
                 a2h2          b2h2           èëè         +     = 1,
                                                      a′ 2 b′ 2
                  c2               c2

          a       b
ãäå a′ = ⋅ h , b′ = ⋅ h - ïîëóîñè ýëëèïñà.
          c       c
     Òàêèì îáðàçîì, ïåðåñå÷åíèå êîíóñà (8.13) ïëîñêîñòüþ z = h
åñòü ýëëèïñ ñ ïîëóîñÿìè a′ è b′ , ñ öåíòðîì íà îñè Oz . Ëþáîé
òàêîé ýëëèïñ ìîæíî âçÿòü â êà÷åñòâå íàïðàâëÿþùåé êîíóñà (8.13).
      ÷àñòíîñòè, åñëè ïîëîæèòü a = b ìû ïîëó÷èì ïðÿìîé êðóãî-
âîé êîíóñ
                 x 2 + y2 − k 2z2 = 0 ,                                          (8.14)
          a
ãäå k =     .
          c
      Ïåðåñåêàÿ ïðÿìîé êðóãîâîé êîíóñ (8.14) ïëîñêîñòÿìè z = h ,
h ≠ 0 , ìû áóäåì ïîëó÷àòü îêðóæíîñòè
                                    x2 + y2 = k 2h2
ðàäèóñà R = k ⋅ h ñ öåíòðàìè íà îñè OZ .
    Ïëîñêîñòü z = 0 ïåðåñå÷¸ò êîíóñ (8.14) ïî òî÷êå O , à ïëîñ-
êîñòè x = 0 è y = 0 ïåðåñåêóò êîíóñ ïî îáðàçóþùèì.
    Ïëîñêîñòè x = h è y = h ïðè h ≠ 0 ïåðåñåêóò êîíóñ (8.13) ïî
ãèïåðáîëàì (ðèñ. 8.13à) ñ ïîëóîñÿìè

Страницы