Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 219 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

219
1
2
2
2
2
2
2
=++
c
z
b
y
a
x
, (8.17)
ãäå
0>≥≥ cba
- ïîëóîñè ýëëèïñîèäà.
Çàìåòèì, ÷òî èç óðàâíåíèÿ ýëëèïñîèäà (8.17) ñðàçó ñëåäóåò,
÷òî êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè ÿâëÿ-
þòñÿ ïëîñêîñòÿìè ñèììåòðèè ýë-
ëèïñîèäà, à íà÷àëî êîîðäèíàò - åãî
öåíòðîì ñèììåòðèè.
Ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà
a
,
b
è
c
íàçûâàþòñÿ ïîëóîñÿìè ýëëèïñîèäà.
Ýëëèïñîèä ëåæèò âíóòðè ïðÿ-
ìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà
axa ≤≤−
,
byb ≤≤−
,
czc ≤≤−
,
ò.å. ýëëèïñîèäû ÿâëÿþòñÿ îãðàíè-
÷åííûìè ïîâåðõíîñòÿìè è âñå ïëîñêèå ñå÷åíèÿ ýëëèïñîèäà ÿâëÿþòñÿ
îãðàíè÷åííûìè êðèâûìè âòîðîãî ïîðÿäêà - ýëëèïñàìè.
Ïóñòü
222
cba ≥≥
. Ðàññìîòðèì ïåðåñå÷åíèå ýëëèïñîèäà (8.17)
ñ ïëîñêîñòüþ
hz =
ïðè
ch <
. Ïîäñòàâëÿÿ
hz =
â (8.17) ïîëó÷èì
2
2
2
2
2
2
1
c
h
b
y
a
x
−=+
èëè
1
11
2
2
2
2
2
2
=
−
+
−
c
h
b
y
c
h
a
x
. (8.18)
Òàêèì îáðàçîì ìû âèäèì, ÷òî ïëîñêîñòü
hz =
ïðè
ch <
ïåðåñåêàåò ýëëèïñîèä (8.17) ïî ýëëèïñó ñ ïîëóîñÿìè
2
2
1
c
h
a −
,
2
2
1
c
h
b −
,
êîòîðûå äîñòèãàþò ìàêñèìóìà ïðè
0=h
è ìîíîòîííî óáûâàþò
Ðèñ. 8.16.
z
y
x
O
                                                                         219

                   x2       y2       z2
                        +        +        =1,                        (8.17)
                   a2       b2       c2
ãäå a ≥ b ≥ c > 0 - ïîëóîñè ýëëèïñîèäà.
      Çàìåòèì, ÷òî èç óðàâíåíèÿ ýëëèïñîèäà (8.17) ñðàçó ñëåäóåò,
÷òî êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè ÿâëÿ-                       z
þòñÿ ïëîñêîñòÿìè ñèììåòðèè ýë-
ëèïñîèäà, à íà÷àëî êîîðäèíàò - åãî
öåíòðîì ñèììåòðèè.
      Ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà a , b è c                      O
íàçûâàþòñÿ ïîëóîñÿìè ýëëèïñîèäà.
      Ýëëèïñîèä ëåæèò âíóòðè ïðÿ- x
ìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà                                          y
   − a ≤ x ≤ a , −b ≤ y ≤ b , −c ≤ z ≤ c ,                Ðèñ. 8.16.
ò.å. ýëëèïñîèäû ÿâëÿþòñÿ îãðàíè-
÷åííûìè ïîâåðõíîñòÿìè è âñå ïëîñêèå ñå÷åíèÿ ýëëèïñîèäà ÿâëÿþòñÿ
îãðàíè÷åííûìè êðèâûìè âòîðîãî ïîðÿäêà - ýëëèïñàìè.
      Ïóñòü a 2 ≥ b 2 ≥ c 2 . Ðàññìîòðèì ïåðåñå÷åíèå ýëëèïñîèäà (8.17)
ñ ïëîñêîñòüþ z = h ïðè h < c . Ïîäñòàâëÿÿ z = h â (8.17) ïîëó÷èì

                                 x2       y2           h2
                                      +         = 1−
                                 a2       b2           c2
èëè

                        x2                      y2
                                      +                     =1
                         2                    2 
                   a 1− h               b 1− h               .   (8.18)
                        c2                   c2 
                                                

    Òàêèì îáðàçîì ìû âèäèì, ÷òî ïëîñêîñòü z = h ïðè h < c
ïåðåñåêàåò ýëëèïñîèä (8.17) ïî ýëëèïñó ñ ïîëóîñÿìè

                                      h2                h2
                             a 1−           , b 1−           ,
                                      c2                c2
êîòîðûå äîñòèãàþò ìàêñèìóìà ïðè h = 0 è ìîíîòîííî óáûâàþò

Страницы