Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 24 стр.

24
     Âîçìîæíîñòü âû÷èòàòü îäíó ñòðîêó èç äðóãîé è îòëè÷èå îò
íóëÿ ÷èñëîâîãî ìíîæèòåëÿ èìåþò ïðèíöèïèàëüíîå çíà÷åíèå: ýëå-
ìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ îáðàòèìû. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ïåðåéäÿ îò
ìàòðèöû A ê ìàòðèöå B ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ýëåìåíòàðíûõ
ïðåîáðàçîâàíèé, ñ ïîìîùüþ äðóãîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýëåìåí-
òàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ìû ñìîæåì âåðíóòüñÿ îò B ê A .
Ïðåäëîæåíèå 1.7. Êàæäîå ýëåìåíòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå ñòðîê
ìàòðèöû A ðàçìåðîâ m × n ðàâíîñèëüíî óìíîæåíèþ ìàòðèöû
 A ñëåâà íà íåêîòîðóþ êâàäðàòíóþ ìàòðèöó S ïîðÿäêà m . Ïðè
ýòîì S íå çàâèñèò îò A , à ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ òåì ïðåîáðà-
çîâàíèåì, êîòîðîå îíà îñóùåñòâëÿåò.
Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó óìíîæåíèÿ òðåòüåé ñòðîêè ìàòðèöû
                            a b      c
                                        
                          A=d e      f
                            m n      l 
                            
íà ÷èñëî λ ≠ 0 . Âîçüì¸ì åäèíè÷íóþ ìàòðèöó òðåòüåãî ïîðÿäêà è
óìíîæèì å¸ òðåòüþ ñòðîêó íà λ è ïîëó÷åííóþ ìàòðèöó ïðèìåì
â êà÷åñòâå ýëåìåíòàðíîé ìàòðèöû S1 . Óìíîæèì òåïåðü èñõîäíóþ
ìàòðèöó A ñëåâà íà S1 .

                 1 0 0  a b       c  a     b c
                                                  
          S1 A =  0 1 0  ⋅  d e   f = d     e  f 
                                                         .
                 0 0 λ m n        l   λm λn λl 
                         
    Ðàññìîòðèì òåïåðü çàäà÷ó ïðèáàâëåíèÿ ïåðâîé ñòðîêè èñ-
õîäíîé ìàòðèöû ê å¸ âòîðîé ñòðîêå.
    Âîçüì¸ì ñíîâà åäèíè÷íóþ ìàòðèöó òðåòüåãî ïîðÿäêà, ñëî-
æèì ó íå¸ âòîðóþ ñòðîêó ñ ïåðâîé, îáîçíà÷èì å¸ ÷åðåç S 2 è óìíî-
æèì èñõîäíóþ ìàòðèöó ñëåâà íà S 2 .