Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 26 стр.

26
       Ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñòîëáöîâ ïîëó÷àþòñÿ óìíîæå-
íèåì èñõîäíîé ìàòðèöû Am×n ñïðàâà íà ýëåìåíòàðíóþ ìàòðèöó
ïîðÿäêà n .

Ïðèìåð.
                         a b        c   1 0 0   a b λc 
                                                            
                A ⋅ S1 =  d e       f  ⋅  0 1 0  =  d e λf 
                                                                   .
                         m n        l   0 0 λ   m n λl 
                         

1.8. Âûðîæäåííûå è íåâûðîæäåííûå ìàòðèöû.

Îïðåäåëåíèå 1.9. Êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ âûðîæäåííîé,
åñëè å¸ ñòðîêè ëèíåéíî çàâèñèìû.
     Âûðîæäåííîé áóäåò êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ó êîòîðîé åñòü íó-
ëåâàÿ ñòðîêà èëè ìàòðèöà èìåþùàÿ äâå îäèíàêîâûå ñòðîêè.
     Ïðèìåðîì íåâûðîæäåííîé ìàòðèöû ìîæåò ñëóæèòü åäèíè÷-
íàÿ ìàòðèöà.
Ïðåäëîæåíèå 1.8. Ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñòðîê ïåðåâî-
äÿò íåâûðîæäåííóþ ìàòðèöó â íåâûðîæäåííóþ, à âûðîæäåííóþ
â âûðîæäåííóþ.
      Ïóñòü ñòðîêè a1 , a2 ,..., an ìàòðèöû A ëèíåéíî íåçàâèñèìû,
ò.å. èõ òðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ
        α1a1 + α 2 a2 + ... + α n an = O ïðè α1 = α 2 = ... = α n = 0 .
     Åñëè ìû, äîïóñòèì, ïðèáàâèëè êî âòîðîé ñòðîêå ìàòðèöû
å¸ ïåðâóþ ñòðîêó, òîãäà
     α1a1 + α 2 (a1 + a2 ) + ... + α n an = (α1 + α 2 )a1 + α 2 a2 + ... + α n an = O .
       Òàê êàê èñõîäíàÿ ñèñòåìà ñòðîê a1 , a2 ,..., an ëèíåéíî íåçàâè-
ñèìà ìû äîëæíû ïîëîæèòü α1 + α 2 = α 2 = ... = α n = 0 , îòêóäà ñðà-
çó ñëåäóåò, ÷òî α1 + α 2 = 0 , èëè α1 = 0 . Ìû âèäèì, ÷òî íîâàÿ ñèñ-
òåìà ñòðîê a1 , a1 + a2 ,..., an òîæå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìîé.