Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 28 стр.

28
ãëàâíîé äèàãîíàëè è íóëè íèæå ãëàâíîé äèàãîíàëè. Êîãäà áóäåò
ïîëó÷åíà åäèíèöà íà ìåñòå a nn íåòðóäíî áóäåò ïîñòóïàÿ óæå èç-
âåñòíûì ñïîñîáîì ïîëó÷èòü íóëè âûøå ãëàâíîé äèàãîíàëè.
     Òàêîé ìåòîä ïðåîáðàçîâàíèÿ ìàòðèöû íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì
Ãàóññà-Æîðäàíà ñ âûáîðîì âåäóùåãî ýëåìåíòà ïî ñòðîêå.
     Ïðîäåìîíñòðèðóåì ìåòîä Ãàóññà-Æîðäàíà íà ñëåäóþùåì
ïðèìåðå.

Ïðèìåð. Ïðèâåñòè ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé
äàííóþ ìàòðèöó ê åäèíè÷íîé.
           0 3 2  1 2 3  1 2     3  1 2 3 
                                              
      A =  1 2 3 ~  0 3 2 ~  0 3 2  ~  0 1 2 3 ~
           4 0 5  4 0 5  0 − 8 − 7  0 8 7 
                                              

         1 2 3  1 2 3  1 2 3 1 0 0
                                               
      ~  0 1 2 3 ~  0 1 2 3 ~  0 1 0  ~  0 1 0  = E
                                                            .
         0 0 5 3  0 0 1   0 0 1   0 0 1
                                               
    Çäåñü ìû ïîìåíÿëè âòîðóþ ñòðîêó ñ ïåðâîé, à äàëåå âñå âû-
÷èñëåíèÿ äîñòàòî÷íî ïðîçðà÷íû.

Ïðåäëîæåíèå 1.10. Êàæäóþ âûðîæäåííóþ ìàòðèöó ñ ïîìîùüþ
ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñòðîê ìîæíî ïðåâðàòèòü â ìàò-
ðèöó, ó êîòîðîé ïîñëåäíÿÿ ñòðîêà íóëåâàÿ.
     Åñëè â âûðîæäåííîé ìàòðèöå áîëåå äâóõ ñòðîê, òî îäíà èç
å¸ ñòðîê ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé îñòàëüíûõ. Ïåðåñòàâèì
ýòó ñòðîêó íà ïîñëåäíåå ìåñòî è âû÷òåì èç íå¸ ëèíåéíóþ êîìáè-
íàöèþ îñòàëüíûõ ñòðîê, êîòîðîé îíà ðàâíà.
Ïðåäëîæåíèå 1.11. Êàæäóþ íåâûðîæäåííóþ ìàòðèöó ìîæíî ðàç-
ëîæèòü â ïðîèçâåäåíèå ýëåìåíòàðíûõ ìàòðèö.
     Â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 1.8 íàéäóòñÿ òàêèå ýëåìåíòàðíûå ìàò-
ðèöû T1 , T2 ,...,Tm , ÷òî
                             Tm ...T2T1 A = E .           (1.14)