Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 27 стр.

                                                                    27
     Åñëè ìû, íàïðèìåð, óìíîæèì íà λ ≠ 0 òðåòüþ ñòðîêó, òîãäà
                  α1a1 + α 2 a2 + α 3λa3 ... + α n an = O ,
à òàê êàê α 3 = 0 , ðàâíî íóëþ è α 3λ , è íîâàÿ ñèñòåìà ñòðîê ëèíåé-
íî íåçàâèñèìà.
     Âòîðóþ ÷àñòü ïðåäëîæåíèÿ ìîæíî äîêàçàòü èñïîëüçóÿ îá-
ðàòèìîñòü ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé. Ïóñòü A âûðîæäåí-
íàÿ ìàòðèöà. Åñëè äîïóñòèòü, ÷òî ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ
ïåðåâîäÿò å¸ â íåâûðîæäåííóþ ìàòðèöó, òî îáðàòíûå ýëåìåíòàð-
íûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåâåäóò íåâûðîæäåííóþ ìàòðèöó â íåâû-
ðîæäåííóþ, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò èñõîäíîìó ïðåäïîëîæåíèþ.
Ñëåäñòâèå 1.2. Âñå ýëåìåíòàðíûå ìàòðèöû íåâûðîæäåíû.
Ïðåäëîæåíèå 1.9. Êàæäàÿ íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà ñ ïîìîùüþ
ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñòðîê ìîæåò áûòü ïðåâðàùåíà â
åäèíè÷íóþ ìàòðèöó.
     Ïóñòü íàì äàíà íåâûðîæäåííàÿ êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿä-
êà n è ïóñòü å¸ ñòðîêè a1 , a 2 ,..., a n . Íàøà ïåðâàÿ çàäà÷à çàêëþ÷à-
åòñÿ â ïîëó÷åíèè åäèíèöû íà ìåñòå a11 . Åñëè â ïåðâîì ñòîëáöå
òàêàÿ åäèíèöà óæå ñîäåðæèòñÿ, íàïðèìåð â i ñòðîêå, ìû ýòó ñòðî-
êó ìîæåì ïîìåíÿòü ìåñòàìè ñ ïåðâîé ñòðîêîé åäèíèöà îêàæåòñÿ
íà ìåñòå a11 . Åñëè åäèíèöû â ïåðâîì ñòîëáöå íåò, ìû ìîæåì âçÿòü
ëþáîé ýëåìåíò ïåðâîãî ñòîëáöà îòëè÷íûé îò íóëÿ (à îí îáÿçà-
òåëüíî íàéä¸òñÿ â ñèëó íåâûðîæäåííîñòè ìàòðèöû) è ïîäåëèâ
åãî íà ñàìîãî ñåáÿ ýòó åäèíèöó ïîëó÷èòü. Òåïåðü äëÿ âñåõ ñòðîê ñ
i = 2,..., n áóäåì âû÷èòàòü èç i -é ñòðîêè ïåðâóþ ñòðîêó, óìíî-
æåííóþ íà ai1 .  ðåçóëüòàòå ýòîé îïåðàöèè ìû ïîëó÷èì ïåðâûé
ñòîëáåö åäèíè÷íîé ìàòðèöû. Òåïåðü âî âòîðîì ñòîëáöå ìû ìî-
æåì ýëåìåíò a 22 , åñëè îí íå ðàâåí íóëþ, ïîäåëèòü íà ñàìîãî ñåáÿ
è ïîëó÷èòü åäèíèöó íà ìåñòå a 22 . Òåïåðü äëÿ âñåõ ñòðîê ñ i = 3,..., n
áóäåì âû÷èòàòü èç i -é ñòðîêè âòîðóþ ñòðîêó óìíîæåííóþ íà
ai 2 .  ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì íóëè âî âòîðîì ñòîëáöå íèæå ãëàâ-
íîé äèàãîíàëè. Ïîñòóïàÿ òàê è äàëüøå ìû ïîëó÷èì åäèíèöû íà