Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 29 стр.

                                                                        29
    Òàê êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé
îáðàòèìû, òî ñóùåñòâóþò òàêèå ýëåìåíòàðíûå ìàòðèöû, äëÿ êî-
òîðûõ
                           S1S 2 ...S m E = A
èëè
                      S1S 2 ...S m = A .        (1.15)
Ïðåäëîæåíèå 1.12. Êàæäóþ âûðîæäåííóþ ìàòðèöó ìîæíî ðàç-
ëîæèòü â ïðîèçâåäåíèå
                             S1S 2 ...S mV ,
ãäå S1 , S 2 ,..., S m - ýëåìåíòàðíûå ìàòðèöû, à V - ìàòðèöà, ïîñëå-
äíÿÿ ñòðîêà êîòîðîé ñîñòîèò èç íóëåé.
     Äàííîå ïðåäëîæåíèå ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ïðåäëîæåíèÿ 1.9.

                                                                 Ëåêöèÿ ¹4.
1.9. Îáðàòíàÿ ìàòðèöà.

Îïðåäåëåíèå 1.10. Ìàòðèöà X íàçûâàåòñÿ îáðàòíîé äëÿ ìàòðè-
öû A , åñëè
                      XA = AX = E .                   (1.17)
     Ðàíåå ìû óñòàíîâèëè, ÷òî äâå ìàòðèöû ìîãóò áûòü ïåðåñòà-
íîâî÷íûìè, åñëè îíè îáå êâàäðàòíûå è îäíîãî ïîðÿäêà. Òàêèì
îáðàçîì îáðàòíóþ ìàòðèöó ìîæåò èìåòü òîëüêî êâàäðàòíàÿ
ìàòðèöà, õîòÿ ýòîãî è íåäîñòàòî÷íî.
Ïðåäëîæåíèå 1.13. Ïðîèçâåäåíèå íåâûðîæäåííûõ ìàòðèö - íåâû-
ðîæäåííàÿ ìàòðèöà.
     Ðàññìîòðèì ïðîèçâåäåíèå íåâûðîæäåííûõ ìàòðèö A è B -
AB . Íà îñíîâå ïðåäëîæåíèÿ 1.10 ðàçëîæèì ìàòðèöó A â ïðîèç-
âåäåíèå    ýëåìåíòàðíûõ        ìàòðèö:          A = S1S 2 ...S m .   Òîãäà
AB = S1S 2 ...S m B ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü êàê ðåçóëüòàò äåéñòâèÿ
íà ìàòðèöó B ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ
ìàòðèöàì S1 , S 2 ,..., S m . Â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäëîæåíèåì 1.7 ýòîò
ðåçóëüòàò åñòü íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà.