Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 31 стр.

                                                                              31

                           YX = E .
      Ðàññìîòðèì ïðîèçâåäåíèå
                                    Y (XA) = Y .
      Ñ äðóãîé ñòîðîíû
                                    (YX )A = A .
      Òîãäà
                   Y (XA) = (YX )A = Y = A .
     Îáðàòíàÿ ê A ìàòðèöà X ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîé, òàê êàê
åñëè ïîëîæèòü, ÷òî
                              X1 A = E è X 2 A = E ,
òîãäà
                                  (X1 − X 2 )A = O
èëè
                                     X1 = X 2 .
     Îáðàòíóþ ê A ìàòðèöó ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü êàê A −1 . Ñèì-
âîë “-1” ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü êàê ïîêàçàòåëü ñòåïåíè. Òîãäà
äëÿ êâàäðàòíîé ìàòðèöû A ïîêàçàòåëü ñòåïåíè k ∈ Z ìû ìîæåì
ïîíèìàòü êàê
                      Ak = A ⋅ A ⋅ ... ⋅ A ,
ò.å. ìàòðèöà A óìíîæåíà ñàìà íà ñåáÿ k ðàç. Î÷åâèäíî, ÷òî

          (A )−1 k
                                                            ( )
                     = A− k , A 0 = E , Am ⋅ An = A m+ n , A −1
                                                                  −1
                                                                       = A.

                                 (AB )−1 = B −1 A−1 ,
òàê êàê
                 (AB ) ⋅ (B −1 A−1 ) = A(BB −1 )A−1 = AA−1 = E .
               (A A)      T
                                ( )  T
                 = AT A −1 = E èëè A −1 = AT .
                     −1
                                                   ( ) ( )
                                                        T          −1


    Ïðèâåä¸ì ñïîñîá âû÷èñëåíèÿ îáðàòíîé ìàòðèöû. Åñëè ýëå-
ìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåâîäÿò ìàòðèöó A â E , òî îíè æå
ïåðåâîäÿò ìàòðèöó E â ìàòðèöó A −1 , òàê êàê