Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

30
Ñëåäñòâèå 1.3. Ïðîèçâåäåíèå ýëåìåíòàðíûõ ìàòðèö íåâûðîæ-
äåíî.
Ïðåäëîæåíèå 1.14. Åñëè õîòÿ áû îäíà èç ìàòðèö
A
èëè
B
âû-
ðîæäåíà òî è
AB
- âûðîæäåííàÿ ìàòðèöà.
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè
A
íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà, òî
B
- âû-
ðîæäåííàÿ. Ïîëàãàÿ
m
SSSA
...
21
=
çàïèøåì
BSSSAB
m
...
21
=
.
 ñîîòâåòñòâèè ñî âòîðîé ÷àñòüþ ïðåäëîæåíèÿ 1.7 ìû âû-
íóæäåíû ïîëîæèòü
B
âûðîæäåííîé ìàòðèöåé, èíà÷å
AB
áûëî
áû íåâûðîæäåííîé ìàòðèöåé. Åñëè
A
- âûðîæäåííàÿ ìàòðèöà,
òî â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäëîæåíèåì 1.11
VBSSSAB
m
...
21
=
,
ãäå ïîñëåäíÿÿ ñòðîêà ìàòðèöû
V
íóëåâàÿ, íóëåâîé áóäåò è ïîñ-
ëåäíÿÿ ñòðîêà ìàòðèöû
VB
. Òàêèì îáðàçîì ìàòðèöà
AB
ïîëó-
÷àåòñÿ ýëåìåíòàðíûì ïðåîáðàçîâàíèåì âûðîæäåííîé ìàòðèöû
VB
è ïîýòîìó ñàìà âûðîæäåíà.
Ñëåäñòâèå 1.4. Âûðîæäåííàÿ ìàòðèöà íå èìååò îáðàòíîé.
Ïðåäëîæåíèå 1.15. Äëÿ ëþáîé íåâûðîæäåííîé ìàòðèöû ñóùå-
ñòâóåò åäèíñòâåííàÿ îáðàòíàÿ ìàòðèöà.
Ðàññìîòðèì ôîðìóëó (1.14)
EATTT
m
=
12
...
, (1.14)
ïðåäëîæåíèÿ 1.11 è îáîçíà÷èì ïðîèçâåäåíèå ýëåìåíòàðíûõ ïðå-
îáðàçîâàíèé ÷åðåç
X
:
XTTT
m
=
12
...
.
Òåïåðü ìû ìîæåì ñêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé íåâûðîæäåííîé
êâàäðàòíîé ìàòðèöû
A
ñóùåñòâóåò òàêàÿ ìàòðèöà
X
, ÷òî
EXA =
.
Äîêàæåì ñïðàâåäëèâîñòü çàïèñè
EAX =
.
Òàê êàê ìàòðèöà
X
åñòü ïðîèçâåäåíèå íåâûðîæäåííûõ ìàò-
ðèö
12
...
TTT
m
, îíà è ñàìà íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà, à çíà÷èò èìååò
îáðàòíóþ ìàòðèöó
Y
, ò.å.
30
Ñëåäñòâèå 1.3. Ïðîèçâåäåíèå ýëåìåíòàðíûõ ìàòðèö íåâûðîæ-
äåíî.
Ïðåäëîæåíèå 1.14. Åñëè õîòÿ áû îäíà èç ìàòðèö A èëè B âû-
ðîæäåíà òî è AB - âûðîæäåííàÿ ìàòðèöà.
     Äåéñòâèòåëüíî, åñëè A íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà, òî B - âû-
ðîæäåííàÿ. Ïîëàãàÿ A = S1S 2 ...S m çàïèøåì
                        AB = S1S 2 ...S m B .
      ñîîòâåòñòâèè ñî âòîðîé ÷àñòüþ ïðåäëîæåíèÿ 1.7 ìû âû-
íóæäåíû ïîëîæèòü B âûðîæäåííîé ìàòðèöåé, èíà÷å AB áûëî
áû íåâûðîæäåííîé ìàòðèöåé. Åñëè A - âûðîæäåííàÿ ìàòðèöà,
òî â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäëîæåíèåì 1.11
                       AB = S1S 2 ...S mVB ,
ãäå ïîñëåäíÿÿ ñòðîêà ìàòðèöû V íóëåâàÿ, íóëåâîé áóäåò è ïîñ-
ëåäíÿÿ ñòðîêà ìàòðèöû VB . Òàêèì îáðàçîì ìàòðèöà AB ïîëó-
÷àåòñÿ ýëåìåíòàðíûì ïðåîáðàçîâàíèåì âûðîæäåííîé ìàòðèöû
VB è ïîýòîìó ñàìà âûðîæäåíà.
Ñëåäñòâèå 1.4. Âûðîæäåííàÿ ìàòðèöà íå èìååò îáðàòíîé.
Ïðåäëîæåíèå 1.15. Äëÿ ëþáîé íåâûðîæäåííîé ìàòðèöû ñóùå-
ñòâóåò åäèíñòâåííàÿ îáðàòíàÿ ìàòðèöà.
     Ðàññìîòðèì ôîðìóëó (1.14)
                      Tm ...T2T1 A = E ,            (1.14)
ïðåäëîæåíèÿ 1.11 è îáîçíà÷èì ïðîèçâåäåíèå ýëåìåíòàðíûõ ïðå-
îáðàçîâàíèé ÷åðåç X :
                       Tm ...T2T1 = X .
    Òåïåðü ìû ìîæåì ñêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé íåâûðîæäåííîé
êâàäðàòíîé ìàòðèöû A ñóùåñòâóåò òàêàÿ ìàòðèöà X , ÷òî
                           XA = E .
    Äîêàæåì ñïðàâåäëèâîñòü çàïèñè
                          AX = E .
    Òàê êàê ìàòðèöà X åñòü ïðîèçâåäåíèå íåâûðîæäåííûõ ìàò-
ðèö Tm ...T2T1 , îíà è ñàìà íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà, à çíà÷èò èìååò
îáðàòíóþ ìàòðèöó Y , ò.å.

Страницы