Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

33
Íóëåâàÿ ìàòðèöà íå ñîäåðæèò ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñòðîê è
å¸ ñòðî÷íûé ðàíã ïî îïðåäåëåíèþ ðàâåí íóëþ.
Ñòðî÷íûé ðàíã åäèíè÷íîé ìàòðèöû
n
E
ðàâåí, î÷åâèäíî,
n
, òàê
êàê âñå ñòðîêè åäèíè÷íîé ìàòðèöû (ïðåäëîæåíèå 1.2) ëèíåéíî íå-
çàâèñèìû.
Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ è ñòîëáöîâûé ðàíã ìàòðèöû
nm
A
×
.
Îí ðàâåí
r
, åñëè åñòü ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà ñîñòîÿùàÿ èç
r
ñòîëáöîâ, è íåò ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìû èç áîëüøåãî ÷èñëà
ñòîëáöîâ.
Çàìåòèì ñðàçó, ÷òî ñòîëáöîâûé ðàíã åäèíè÷íîé ìàòðèöû
n
E
â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäëîæåíèåì 1.2 òàê æå ðàâåí
n
è ìû âèäèì,
÷òî ó åäèíè÷íîé ìàòðèöû ñòðî÷íûé è ñòîëáöîâûé ðàíãè ñîâïà-
äàþò è ðàâíû ïîðÿäêó åäèíè÷íîé ìàòðèöû.
Ïîêàæåì, ÷òî åñëè â ìàòðèöå
nm
A
×
èìååòñÿ
r
ëèíåéíî íåçà-
âèñèìûõ ñòðîê è ëþáàÿ ñèñòåìà èç
1+r
ñòðîêè ëèíåéíî çàâèñè-
ìà, ìû ìîæåì îòûñêàòü â äàííîé ìàòðèöå íåâûðîæäåííóþ ïîä-
ìàòðèöó ïîðÿäêà
r
.
Ïóñòü äëÿ îïðåäåë¸ííîñòè ÷èñëî ñòðîê ìåíüøå ÷èñëà ñòîëá-
öîâ, ò.å.
nm <
è
mr <
.
Ïóñòü òàêæå
r
ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñòðîê ðàñïîëîæåíû â
ìàòðèöå
nm
A
×
â ïðîèçâîëüíîì ïîðÿäêå.
Èñïîëüçóÿ ïðåîáðàçîâàíèå 5 èç îïðåäåëåíèÿ 4.7 ïåðåäâèíåì
(ñ îäíîâðåìåííûì èçìåíåíèåì íîìåðîâ ñòðîê) ýòè ñòðîêè ââåðõ,
òàê ÷òîáû îíè ðàñïîëîæèëèñü â ïåðâûõ
r
ñòðîêàõ íàøåé ìàòðè-
öû. Èñõîäíàÿ ìàòðèöà
nm
A
×
ïðèìåò âèä:
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
⇒
() () ()
=
+++
mnmm
nrrr
rnrr
n
aaa
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
............
...
21
12111
21
11211
.
3 À.À. Êèðñàíîâ
                                                                                 33
     Íóëåâàÿ ìàòðèöà íå ñîäåðæèò ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñòðîê è
å¸ ñòðî÷íûé ðàíã ïî îïðåäåëåíèþ ðàâåí íóëþ.
     Ñòðî÷íûé ðàíã åäèíè÷íîé ìàòðèöû En ðàâåí, î÷åâèäíî, n , òàê
êàê âñå ñòðîêè åäèíè÷íîé ìàòðèöû (ïðåäëîæåíèå 1.2) ëèíåéíî íå-
çàâèñèìû.
    Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ è ñòîëáöîâûé ðàíã ìàòðèöû Am× n .
Îí ðàâåí r , åñëè åñòü ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà ñîñòîÿùàÿ èç
r ñòîëáöîâ, è íåò ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìû èç áîëüøåãî ÷èñëà
ñòîëáöîâ.
     Çàìåòèì ñðàçó, ÷òî ñòîëáöîâûé ðàíã åäèíè÷íîé ìàòðèöû En
â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäëîæåíèåì 1.2 òàê æå ðàâåí n è ìû âèäèì,
÷òî ó åäèíè÷íîé ìàòðèöû ñòðî÷íûé è ñòîëáöîâûé ðàíãè ñîâïà-
äàþò è ðàâíû ïîðÿäêó åäèíè÷íîé ìàòðèöû.
      Ïîêàæåì, ÷òî åñëè â ìàòðèöå Am× n èìååòñÿ r ëèíåéíî íåçà-
âèñèìûõ ñòðîê è ëþáàÿ ñèñòåìà èç r + 1 ñòðîêè ëèíåéíî çàâèñè-
ìà, ìû ìîæåì îòûñêàòü â äàííîé ìàòðèöå íåâûðîæäåííóþ ïîä-
ìàòðèöó ïîðÿäêà r .
     Ïóñòü äëÿ îïðåäåë¸ííîñòè ÷èñëî ñòðîê ìåíüøå ÷èñëà ñòîëá-
öîâ, ò.å. m < n è r < m .
     Ïóñòü òàêæå r ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñòðîê ðàñïîëîæåíû â
ìàòðèöå Am× n â ïðîèçâîëüíîì ïîðÿäêå.
     Èñïîëüçóÿ ïðåîáðàçîâàíèå 5 èç îïðåäåëåíèÿ 4.7 ïåðåäâèíåì
(ñ îäíîâðåìåííûì èçìåíåíèåì íîìåðîâ ñòðîê) ýòè ñòðîêè ââåðõ,
òàê ÷òîáû îíè ðàñïîëîæèëèñü â ïåðâûõ r ñòðîêàõ íàøåé ìàòðè-
öû. Èñõîäíàÿ ìàòðèöà Am× n ïðèìåò âèä:

                                       a11       a12       ...    a1n 
                                                                          
        a11 a12   ...   a1n          ...        ...      ...     ... 
                                    
        a21 a22   ...   a2 n           a        ar 2      ...    arn 
     A=                        ⇒ A =  r1                                 
         ... ...   ...    ...         a(r +1)1 a(r +1)2   ...   a(r +1)n  .
                                                                        
       a                             ...        ...      ...     ... 
        m1 am 2   ...   amn 
                                       a         am 2      ...    amn 
                                       m1

3 À.À. Êèðñàíîâ

Страницы