Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

34
Òàê êàê ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè ÿâëÿþòñÿ òîëüêî ïåðâûå
r
ñòðîê, à ñòðîêè ñ íîìåðàìè
1+r
,
2+r
, ...,
m
åñòü èõ ëèíåéíûå
êîìáèíàöèè, ìû ìîæåì ýòè ñòðîêè ñäåëàòü íóëåâûìè è ìàòðèöà
nm
A
×
ïðèìåò âèä:
=
000
000
21
11211
...
............
...
...
............
...
rnrr
n
aaa
aaa
A
èëè
=
rnrr
n
aaa
aaa
A
...
............
...
21
11211
.
Ðàññìîòðèì òåïåðü ìàòðèöó
=
rnrr
n
aaa
aaa
A
...
............
...
21
11211
ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðåäëîæåíèÿ 1.9. Åñëè áû ÷èñëî ñòðîê
r
áûëî áû
ðàâíî ÷èñëó ñòîëáöîâ
n
, ìû èìåëè áû íåâûðîæäåííóþ ìàòðèöó
ïîðÿäêà
n
, êîòîðóþ ìåòîäîì Ãàóññà-Æîðäàíà ìîæíî áûëî áû
ïðèâåñòè ê åäèíè÷íîé ìàòðèöå.
Òàê êàê â íàøåé ñèòóàöèè ÷èñëî ñòðîê ìåíüøå ÷èñëà ñòîëá-
öîâ, ò.å.
nr <
, òî ïðèìåíÿÿ ìåòîä Ãàóññà-Æîðäàíà ê íàøåé ìàò-
ðèöå
nr
A
×
ìû, î÷åâèäíî, ïðèâåä¸ì å¸ ê âèäó:
()
()
()
′′
′′
′′
=
+
+
+
rnrr
nr
nr
aa
aa
aa
A
......
.....................
......
......
1
212
111
100
010
001
. (1.15)
Òàêèì îáðàçîì ìû ïîëó÷èëè ìàòðèöó â êîòîðîé ñîäåðæèò-
ñÿ íåâûðîæäåííàÿ (åäèíè÷íàÿ) ïîäìàòðèöà ïîðÿäêà
r
, ñòîëáöû
êîòîðîé, â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 1.2, ëèíåéíî íåçàâèñèìû è âñå îñ-
òàëüíûå
rn −
ñòîëáöîâ ìàòðèöû ñ íîìåðàìè
nrr ,...,, 21 ++
åñòü
èõ ëèíåéíûå êîìáèíàöèè.
34
    Òàê êàê ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè ÿâëÿþòñÿ òîëüêî ïåðâûå r
ñòðîê, à ñòðîêè ñ íîìåðàìè r + 1 , r + 2 , ..., m åñòü èõ ëèíåéíûå
êîìáèíàöèè, ìû ìîæåì ýòè ñòðîêè ñäåëàòü íóëåâûìè è ìàòðèöà
Am× n ïðèìåò âèä:

             a11 a12    ... a1n 
                                
             ... ...    ... ... 
                                            a11          a12 ... a1n 
            a    a      ... arn                                      
        A =  r1 r 2              èëè A =  ...          ... ... ...  .
             0          ... 0            a             ar 2 ... arn 
                   0
                                          r1
             ... ...    ... ... 
                        ... 0 
             0    0

     Ðàññìîòðèì òåïåðü ìàòðèöó

                              a11   a12    ... a1n 
                                                    
                         A =  ...   ...    ... ... 
                             a      ar 2   ... arn 
                              r1
ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðåäëîæåíèÿ 1.9. Åñëè áû ÷èñëî ñòðîê r áûëî áû
ðàâíî ÷èñëó ñòîëáöîâ n , ìû èìåëè áû íåâûðîæäåííóþ ìàòðèöó
ïîðÿäêà n , êîòîðóþ ìåòîäîì Ãàóññà-Æîðäàíà ìîæíî áûëî áû
ïðèâåñòè ê åäèíè÷íîé ìàòðèöå.
     Òàê êàê â íàøåé ñèòóàöèè ÷èñëî ñòðîê ìåíüøå ÷èñëà ñòîëá-
öîâ, ò.å. r < n , òî ïðèìåíÿÿ ìåòîä Ãàóññà-Æîðäàíà ê íàøåé ìàò-
ðèöå Ar × n ìû, î÷åâèäíî, ïðèâåä¸ì å¸ ê âèäó:
              1       0 ... 0 a1′(r +1)    ... a1′n 
                                                     
              0       1 ... 0 a2′ (r +1)   ... a2′ n 
            A=
                ...   ... ... ... ...       ... ...  .            (1.15)
                                                     
              0       0 ... 1 ar′ (r +1)         ′ 
                                            ... arn
              
     Òàêèì îáðàçîì ìû ïîëó÷èëè ìàòðèöó â êîòîðîé ñîäåðæèò-
ñÿ íåâûðîæäåííàÿ (åäèíè÷íàÿ) ïîäìàòðèöà ïîðÿäêà r , ñòîëáöû
êîòîðîé, â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 1.2, ëèíåéíî íåçàâèñèìû è âñå îñ-
òàëüíûå n − r ñòîëáöîâ ìàòðèöû ñ íîìåðàìè r + 1, r + 2,..., n åñòü
èõ ëèíåéíûå êîìáèíàöèè.

Страницы