Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 35 стр.

                                                           35
Îïðåäåëåíèå 1.12. Ëèíåéíî íåçàâèñèìûå ñòðîêè è ñòîëáöû ìàò-
ðèöû Am× n áóäåì íàçûâàòü áàçèñíûìè ñòðîêàìè è áàçèñíûìè ñòîë-
áöàìè, íåâûðîæäåííóþ ïîäìàòðèöó, ñòîÿùóþ íà ïåðåñå÷åíèè
áàçèñíûõ ñòðîê è ñòîëáöîâ íàçîâ¸ì áàçèñíîé ïîäìàòðèöåé èëè
áàçèñíûì ìèíîðîì.
Îïðåäåëåíèå 1.13. Ðàíãîì ìàòðèöû Am×n (ìèíîðíûì ðàíãîì) íà-
çûâàåòñÿ ïîðÿäîê áàçèñíîé ïîäìàòðèöû (áàçèñíîãî ìèíîðà).
     Ðàíã íóëåâîé ìàòðèöû ïî îïðåäåëåíèþ áóäåì ñ÷èòàòü ðàâíûì
íóëþ.
     Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè òðàíñïîíèðîâàíèè ìàòðèöû å¸ ðàíã íå ìå-
íÿåòñÿ, òàê êàê ïðè òðàíñïîíèðîâàíèè ìàòðèöû (1.15) å¸ áàçèñ-
íàÿ ïîäìàòðèöà ïåðåõîäèò ñàìà â ñåáÿ.
     Î÷åâèäíî òàê æå, ÷òî ðàíã ëþáîé ïîäìàòðèöû A′ ìàòðèöû
A  íå ïðåâîñõîäèò ðàíãà ìàòðèöû A . Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî áà-
çèñíàÿ ïîäìàòðèöà ìàòðèöû A′ ñîäåðæèòñÿ è â ìàòðèöå A .
Îïðåäåëåíèå 1.14. Ìàòðèöó Am×n áóäåì íàçûâàòü óïðîù¸ííîé,
åñëè íåêîòîðûå r å¸ ñòîëáöîâ ÿâëÿþòñÿ ïåðâûìè r ñòîëáöàìè
åäèíè÷íîé ìàòðèöû ïîðÿäêà m è åñëè r < m å¸ ïîñëåäíèå m − r
ñòðîê íóëåâûå.
     Åñëè ìû îòáðîñèì íóëåâûå ñòðîêè, òî ìû è ïîëó÷èì ìàòðè-
öó (1.15) â êà÷åñòâå óïðîù¸ííîé ìàòðèöû, ïîëó÷åííîé èç èñõîä-
íîé ìàòðèöû ìåòîäîì Ãàóññà-Æîðäàíà.

1.11. Îñíîâíûå òåîðåìû î ðàíãå ìàòðèöû

ÒÅÎÐÅÌÀ 1.1. Ó ëþáîé ìàòðèöû Am× n ñòðî÷íûé ðàíã ðàâåí ìè-
íîðíîìó ðàíãó è ðàâåí ñòîëáöîâîìó ðàíãó.
    Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ñîäåðæèòñÿ â ïóíêòå 1.10 è
çàêëþ÷àåòñÿ â ïîëó÷åíèè ìàòðèöû (1.15).
    Èç òåîðåìû 1.1 ñëåäóåò, ÷òî âñå òðè îïðåäåëåíèÿ ðàíãà ìàò-
ðèöû îïðåäåëÿþò íà ñàìîì äåëå îäíî è òîæå ÷èñëî, êîòîðîå ìû
áóäåì íàçâàòü ïðîñòî ðàíãîì ìàòðèöû è îáîçíà÷èì êàê
                          RgA = r .

3*