Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 37 стр.

                                                                                 37

    Åñëè RgAb = RgA = r , òîãäà áàçèñíûå ìèíîðû, ÷èñëà áàçèñ-
íûõ ñòîëáöîâ è áàçèñíûõ ñòðîê ó îáåèõ ìàòðèö îäèíàêîâûå è
ñòîëáåö b ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî áàçèñíûì ñòîëáöàì ìàòðèöû Am×n .
Îí, î÷åâèäíî, áóäåò è ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âñåõ ñòîëáöîâ ìàò-
ðèöû Am× n , òàê êàê ìû ýòî ìîæåì ïðåäñòàâèòü â âèäå:
               b = β1e1 + β 2e 2 + ... + βr e r + 0 ⋅ a r +1 + ... + 0 ⋅ a n ,
ãäå ïî ïðåæíåìó e1, e 2 ,...,e r - áàçèñíûå ñòîëáöû, à a r +1, a r + 2 ,...,a n -
îñòàëüíûå ñòîëáöû ìàòðèöû Am× n .
    Îáðàòíî, åñëè b ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî ñòîëáöàì ìàòðèöû
Am× n , òî âû÷èòàÿ èç ñòîëáöà b åãî ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ ìû
ïîëó÷èì âìåñòî ñòîëáöà b íóëåâîé ñòîëáåö, êîòîðûé íå ìîæåò
èçìåíèòü ðàçìåðà áàçèñíîé ïîäìàòðèöû ìàòðèöû Am× n , ÷òî è
òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
ÒÅÎÐÅÌÀ 1.4. Åñëè â ìàòðèöå Am× n åñòü r ñòîëáöîâ, ïî êîòî-
ðûì ðàñêëàäûâàþòñÿ âñå å¸ ñòîëáöû, å¸ ðàíã íå ïðåâûøàåò r
( RgA ≤ r ). Åñëè ýòè r ñòîëáöîâ ëèíåéíî íåçàâèñèìû - å¸ ðàíã
ðàâåí r .
ÒÅÎÐÅÌÀ 1.5. Åñëè ìàòðèöà Am×r ñîñòîèò èç r ëèíåéíî íåçà-
âèñèìûõ ñòîëáöîâ âûñîòû n , òî å¸ ìîæíî äîïîëíèòü n − r ëè-
íåéíî íåçàâèñèìûìè ñòîëáöàìè âûñîòû n äî íåâûðîæäåííîé
ìàòðèöû ïîðÿäêà n .
     Äîêàçàòåëüñòâî äàííîé òåîðåìû ñðàçó ñëåäóåò èç ïðåäëîæå-
íèÿ 1.2 è ïðåäëîæåíèÿ 9.
ÒÅÎÐÅÌÀ 1.6. Ðàíã ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ìàòðèö íå ïðåâîñõîäèò
ðàíãîâ ñîìíîæèòåëåé.
     Ïóñòü îïðåäåëåíî ïðîèçâåäåíèå AB . Ñîñòàâèì ðàñøèðåí-
íóþ ìàòðèöó
                                    C = (A AB ) .
     Òàê êàê AB - ïîäìàòðèöà ìàòðèöû Ñ , å¸ ðàíã íå ïðåâîñõî-
äèò ðàíãà ìàòðèöû C :