Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 39 стр.

                                                                      39

2. Îïðåäåëèòåëè

2.1. Îïðåäåëèòåëè II è III ïîðÿäêîâ

     Ïðè èçó÷åíèè êâàäðàòíûõ ìàòðèö ìîæíî ââåñòè â ðàññìîò-
ðåíèå íåêîòîðóþ ÷èñëîâóþ ôóíêöèþ, ïîçâîëÿþùóþ äîâîëüíî
ëåãêî ñäåëàòü âûâîä î âûðîæäåííîñòè èëè íåâûðîæäåííîñòè
äàííîé ìàòðèöû.
Îïðåäåëåíèå 2.1. ×èñëîâàÿ ôóíêöèÿ íà ìíîæåñòâå âñåõ êâàäðàò-
íûõ ìàòðèö ïîðÿäêà n íàçûâàåòñÿ îïðåäåëèòåëåì (äåòåðìèíàí-
òîì)1 ïîðÿäêà n , à å¸ çíà÷åíèå íà ìàòðèöå A - îïðåäåëèòåëåì A ,
åñëè îíà îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè.
     1. Êàêóþ áû ñòðîêó êâàäðàòíîé ìàòðèöû ìû íå âçÿëè, ôóí-
êöèÿ ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì îäíîðîäíûì ìíîãî÷ëåíîì îò ýëåìåí-
òîâ ýòîé ñòðîêè.
     Äëÿ i -îé ñòðîêè ìàòðèöû A ýòî çíà÷èò, ÷òî
                  f (A) = h1ai1 + h2 ai 2 + ... + hn ain , (2.1)
ãäå h j - êîýôôèöèåíòû íå çàâèñÿùèå îò ýëåìåíòîâ i -é ñòðîêè
ai1 , ai 2 ,..., ain , íî çàâèñÿùèå îò ýëåìåíòîâ îñòàëüíûõ ñòðîê ìàòðèöû.
    2. Çíà÷åíèå ôóíêöèè f (A) íà ëþáîé âûðîæäåííîé ìàòðèöå
ðàâíî íóëþ.
    3. Çíà÷åíèå ôóíêöèè f (A) íà åäèíè÷íîé ìàòðèöå ðàâíî åäè-
íèöå.
    Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû A îáîçíà÷àåòñÿ êàê det A èëè A .
    Ïðåæäå ÷åì èçó÷àòü ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëåé, ðàññìîòðèì
îïðåäåëèòåëè ìàòðèö ïåðâîãî, âòîðîãî è òðåòüåãî ïîðÿäêîâ.
     Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ïåðâîãî ïîðÿäêà A = (a11 ) èëè ïðî-
ñòî ÷èñëà åñòü, î÷åâèäíî, ñàìî ýòî ÷èñëî:
                               a11 = a11 .

1 Â íåêîòîðîé ëèòåðàòóðå îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû íàçûâàåòñÿ äåòåðìèíàíòîì
ìàòðèöû.