Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

38
RgCRgAB ≤
.
 ñèëó ñëåäñòâèÿ 1.1 ñòîëáöû ìàòðèöû
AB
åñòü ëèíåéíûå
êîìáèíàöèè ñòîëáöîâ ìàòðèöû
A
è â ñèëó òåîðåìû 1.3 ìû ìî-
æåì çàïèñàòü:
RgARgC =
èëè
RgARgAB ≤
.
Ñîñòàâèì òåïåðü ìàòðèöó
C
′
èç ñòðîê ìàòðèö
B
è
AB
:
=
′
AB
B
C
.
Çäåñü òàê æå ìàòðèöà
AB
ÿâëÿåòñÿ ïîäìàòðèöåé ìàòðèöû
C
′
è
å¸ ðàíã íå ïðåâîñõîäèò ðàíãà ìàòðèöû
C
′
:
CRgRgAB
′
≤
.
 ñèëó ñëåäñòâèÿ 1.1. ñòðîêè ìàòðèöû
AB
åñòü ëèíåéíûå
êîìáèíàöèè ñòðîê ìàòðèöû
B
è â ñèëó òåîðåìû 1.3 ìû ñíîâà
ìîæåì çàïèñàòü:
RgBCRg =
′
èëè
RgBRgAB ≤
.
ÒÅÎÐÅÌÀ 1.7. Åñëè
A
- íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà è îïðåäåëåíû
ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö
AB
è
CA
, òî
RgBRgAB =
è
RgCRgCA =
.
Òàê êàê
A
- íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà, å¸ ìîæíî ñ ïîìîùüþ
ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñâåñòè ê åäèíè÷íîé ìàòðèöå
A
E
òîãî æå ïîðÿäêà è ðàíãà, ÷òî è ìàòðèöà
A
. Òîãäà:
RgBBRgERgAB
A
==
,
à
RgCRgCERgCA
A
==
.
38

                        RgAB ≤ RgC .
    Â ñèëó ñëåäñòâèÿ 1.1 ñòîëáöû ìàòðèöû AB åñòü ëèíåéíûå
êîìáèíàöèè ñòîëáöîâ ìàòðèöû A è â ñèëó òåîðåìû 1.3 ìû ìî-
æåì çàïèñàòü:
                         RgC = RgA
èëè
                        RgAB ≤ RgA .
     Ñîñòàâèì òåïåðü ìàòðèöó C ′ èç ñòðîê ìàòðèö B è AB :

                                 B 
                         C ′ =      .
                                 AB 
Çäåñü òàê æå ìàòðèöà AB ÿâëÿåòñÿ ïîäìàòðèöåé ìàòðèöû C ′ è
å¸ ðàíã íå ïðåâîñõîäèò ðàíãà ìàòðèöû C ′ :
                        RgAB ≤ RgC ′ .
    Â ñèëó ñëåäñòâèÿ 1.1. ñòðîêè ìàòðèöû AB åñòü ëèíåéíûå
êîìáèíàöèè ñòðîê ìàòðèöû B è â ñèëó òåîðåìû 1.3 ìû ñíîâà
ìîæåì çàïèñàòü:
                         RgC ′ = RgB
èëè
                        RgAB ≤ RgB .
ÒÅÎÐÅÌÀ 1.7. Åñëè A - íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà è îïðåäåëåíû
ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö AB è CA , òî
                 RgAB = RgB è RgCA = RgC .
     Òàê êàê A - íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà, å¸ ìîæíî ñ ïîìîùüþ
ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñâåñòè ê åäèíè÷íîé ìàòðèöå E A
òîãî æå ïîðÿäêà è ðàíãà, ÷òî è ìàòðèöà A . Òîãäà:
                    RgAB = RgE AB = RgB ,
à
                    RgCA = RgCE A = RgC .

Страницы