Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 36 стр.

36
ÒÅÎÐÅÌÀ 1.2. Êàæäûé ñòîëáåö (ñòðîêà) ìàòðèöû ðàñêëàäûâà-
åòñÿ â ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ å¸ áàçèñíûõ ñòîëáöîâ (ñòðîê).
     Êàæäûé èç áàçèñíûõ ñòîëáöîâ ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî áàçèñíûì
ñòîëáöàì åñëè âçÿòü ñàì ýòîò ñòîëáåö ñ êîýôôèöèåíòîì åäèíèöà, à
îñòàëüíûå ñòîëáöû ñ íóëåâûìè êîýôôèöèåíòàìè. Íàïðèìåð. Ïóñòü
áàçèñíûå ñòîëáöû îáîçíà÷åíû êàê e1, e 2 ,...,e r , à îñòàëüíûå êàê
a r +1, a r + 2 ,...,a n , òîãäà äëÿ áàçèñíîãî ñòîëáöà e3 ìîæåì çàïèñàòü:
                e3 = 0 ⋅ e1 + 0 ⋅ e 2 + 1 ⋅ e3 + 0 ⋅ e 4 + ... + 0 ⋅ er .
     Äëÿ íåáàçèñíîãî ñòîëáöà, íàïðèìåð, a r + 2 ïî òåîðåìå 1.1 íàé-
äóòñÿ òàêèå êîýôôèöèåíòû α1, α 2 ,..., α r , λ , ÷òî
                  α1e1 + α 2e 2 + ... + α r e r + λa r +2 = O .
Çäåñü λ ≠ 0 , òàê êàê â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìû ïîëó÷èëè áû ëèíåé-
íóþ çàâèñèìîñòü áàçèñíûõ ñòîëáöîâ è ìû ìîæåì çàïèñàòü:
                        α1     α             α
                           e1 − 2 e 2 − ... − r e r .
                    ar + 2 = −
                        λ       λ             λ
     Ïîäîáíîå ðàâåíñòâî, íî ñ äðóãèìè êîýôôèöèåíòàìè, ìû
ìîæåì çàïèñàòü è äëÿ ëþáîãî íåáàçèñíîãî ñòîëáöà, ÷òî è çàâåð-
øàåò äîêàçàòåëüñòâî íàøåé òåîðåìû. Î÷åâèäíî, ÷òî âñ¸ ñêàçàí-
íîå ñïðàâåäëèâî è äëÿ ñòðîê ìàòðèöû.
ÒÅÎÐÅÌÀ 1.3. Ïðèïèñûâàíèå ê ìàòðèöå Am× n ñòîëáöà b âûñî-
òû m íå ìåíÿåò å¸ ðàíãà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ýòîò ñòîë-
áåö - ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñòîëáöîâ ìàòðèöû Am×n .
     Ïóñòü ó íàñ èìååòñÿ ìàòðèöà Am× n ðàíãà r . Ïðèïèñûâàÿ ê
íåé ñòîëáåö b ïîëó÷èì ìàòðèöó

                           a11 a12           ... a1n       b1 
                                                               
                          a    a22           ... a2 n      b2 
                     Ab =  21
                            ... ...           ... ...       ...  .
                                                               
                          a                  ... amn       bm 
                           m1 am 2