Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 42 стр.

42
     Ìàòðèöà òðåòüåãî ïîðÿäêà, n = 3 :

      a11 a12   a13
      a21 a22   a23 = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13 a21a32 −
      a31 a32   a33
                                  − a13a22 a31 − a11a23a32 − a12 a21a33 .
    Îïðåäåëèòåëü òðåòüåãî ïîðÿäêà ñîäåðæèò ñóììó èç òð¸õ ñî-
ìíîæèòåëåé ïî îäíîìó èç êàæäîé ñòðîêè è ïî îäíîìó èç êàæäî-
ãî ñòîëáöà, ïîëîâèíà ñëàãàåìûõ âçÿòà ñî çíàêîì (+ ) , à ïîëîâèíà
ñî çíàêîì (− ) .
     Ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî ÷èñëî ñîìíîæèòåëåé â ñóììàõ ñîâïà-
äàåò ñ ïîðÿäêîì îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû.
     Çàìåòèì, òàê æå, ÷òî
                   2 = 1 ⋅ 2 = 2! , à 6 = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 3! .
     Âåðîÿòíî, ñëåäóåò îæèäàòü, ÷òî îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû n -ãî
ïîðÿäêà áóäåò ñîäåðæàòü n! ñëàãàåìûõ ñîñòîÿùèõ èç n ñîìíîæèòå-
ëåé ïî îäíîìó èç êàæäîé ñòðîêè è ïî îäíîìó èç êàæäîãî ñòîëáöà.
Ïîëîâèíà èõ áóäåò ñî çíàêîì (+ ) , à ïîëîâèíà ñî çíàêîì (− ).
    Ïîêàæåì ýòî. Ïóñòü p - íåêîòîðîå ïðîèçâåäåíèå, ñîñòîÿ-
ùåå èç ýëåìåíòîâ ìàòðèöû n -ãî ïîðÿäêà, ñîäåðæàùåå ïî îäíîìó
ýëåìåíòó èç êàæäîé ñòðîêè è ïî îäíîìó ýëåìåíòó èç êàæäîãî
ñòîëáöà.
     Ïóñòü ìíîæèòåëü âõîäÿùèé èç ïåðâîé ñòðîêè èìååò âèä a1α ,
ãäå α - íîìåð ñòîëáöà 1 ≤ α ≤ n . Ìíîæèòåëü èç âòîðîé ñòðîêè
èìååò âèä a 2β , ãäå β - íîìåð ñòîëáöà 1 ≤ β ≤ n è ò.ä. Ìíîæèòåëü
èç ïîñëåäíåé n -é ñòðîêè áóäåò èìåòü âèä a nω , ãäå ω íîìåð ñòîë-
áöà 1 ≤ ω ≤ n . Òàêèì îáðàçîì
                  p = a1α ⋅ a2β ⋅ ... ⋅ anω .                          (2.4)
    Òàê êàê âñå ñîìíîæèòåëè â (2.4) âçÿòû ïî îäíîìó èç êàæäîé
ñòðîêè è ïî îäíîìó èç êàæäîãî ñòîëáöà, âñå èíäåêñû α, β,..., ω