Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

44
+
()
123
,
()
231
,
()
312
;
-
()
321
,
()
132
,
()
213
.
Ìû âèäèì, ÷òî â ïÿòè ïåðåñòàíîâêàõ ðàñïîëîæåíèÿ íåêîòî-
ðûõ ïàð íîìåðîâ ïðîòèâîïîëîæíû èõ íàòóðàëüíîìó ðÿäó
()
123
.
Òàêîå ÿâëåíèå ìû áóäåì íàçûâàòü íàðóøåíèåì ïîðÿäêà èëè
èíâåðñèåé.
Îïðåäåëåíèå 2.3. Ïóñòü èìååòñÿ ïåðåñòàíîâêà
()
ωαβ
...
íàòóðàëü-
íûõ ÷èñåë
n,...,2,1
. Ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî äâà ÷èñëà, âõîäÿùèõ
â ýòó ïåðåñòàíîâêó, îáðàçóþò èíâåðñèþ, åñëè áîëüøåå ÷èñëî èç íà-
øåé ïàðû ïðåäøåñòâóåò ìåíüøåìó. ×èñëî ïàð, îáðàçóþùèõ èí-
âåðñèþ, íàçîâ¸ì ÷èñëîì èíâåðñèé äàííîé ïåðåñòàíîâêè è îáîçíà-
÷èì áóêâîé
s
.
 íàòóðàëüíîì ðÿäå
()
n ...21
èíâåðñèé íåò:
0=s
.
 ðÿäå
()
121 ...
−
nn
ñîäåðæèòñÿ î÷åâèäíî
()
2
1
2
−
==
nn
Cs
n
ïàð èíâåðñèé.
Ïðèìåð. Â ïåðåñòàíîâêå
()
4 2 5 1 3
èìååòñÿ ÷åòûðå ïàðû èíâåðñèé:
()
1 3
,
()
2 3
,
()
2 5
,
()
4 5
.
Ëåãêî óâèäåòü, ÷òî äëÿ ïîäñ÷¸òà ÷èñëà èíâåðñèé â ïåðåñòà-
íîâêå
()
ωαβ
...
ñëåäóåò ïîäñ÷èòàòü, ñêîëüêî äëÿ êàæäîãî ÷èñëà
èìååòñÿ ñëåäóþùèõ çà íèì ìåíüøèõ åãî ÷èñåë è çàòåì ñëîæèòü
âñå íàéäåííûå çíà÷åíèÿ.
Âåðí¸ìñÿ ê íàøåìó ïðèìåðó
()
4 2 5 1 3
.
×èñëî ïàð èíâåðñèé
400202 =++++=s
.
Îïðåäåëåíèå 2.4. Ïåðåñòàíîâêà íàçûâàåòñÿ ÷¸òíîé, åñëè îíà ñî-
äåðæèò ÷¸òíîå ÷èñëî ïàð èíâåðñèé, è íàçûâàåòñÿ íå÷¸òíîé â ïðî-
òèâíîì ñëó÷àå.
Ïðàâèëî äëÿ çíàêà.
Ïóñòü
p
- ôèêñèðîâàííîå ïðîèçâåäåíèå, âõîäÿùåå â ñîñòàâ
îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû ïîðÿäêà
n
. Âûïèøåì ñîìíîæèòåëè ïðî-
èçâåäåíèÿ
p
â ïîðÿäêå ñëåäîâàíèÿ ñòðîê:
44

       +     (123) , (231) , (312);
       -     (321), (132), (213).
       Ìû âèäèì, ÷òî â ïÿòè ïåðåñòàíîâêàõ ðàñïîëîæåíèÿ íåêîòî-
ðûõ ïàð íîìåðîâ ïðîòèâîïîëîæíû èõ íàòóðàëüíîìó ðÿäó (123) .
     Òàêîå ÿâëåíèå ìû áóäåì íàçûâàòü íàðóøåíèåì ïîðÿäêà èëè
èíâåðñèåé.
Îïðåäåëåíèå 2.3. Ïóñòü èìååòñÿ ïåðåñòàíîâêà (αβ...ω) íàòóðàëü-
íûõ ÷èñåë 1,2,..., n . Ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî äâà ÷èñëà, âõîäÿùèõ
â ýòó ïåðåñòàíîâêó, îáðàçóþò èíâåðñèþ, åñëè áîëüøåå ÷èñëî èç íà-
øåé ïàðû ïðåäøåñòâóåò ìåíüøåìó. ×èñëî ïàð, îáðàçóþùèõ èí-
âåðñèþ, íàçîâ¸ì ÷èñëîì èíâåðñèé äàííîé ïåðåñòàíîâêè è îáîçíà-
÷èì áóêâîé s .
       Â íàòóðàëüíîì ðÿäå (1 2 ... n ) èíâåðñèé íåò: s = 0 .
                                                               n(n − 1)
        ðÿäå (n n − 1 ... 2 1) ñîäåðæèòñÿ î÷åâèäíî s = Cn =
                                                         2
                                                                  2
ïàð èíâåðñèé.
Ïðèìåð.  ïåðåñòàíîâêå (3 1 5 2 4 ) èìååòñÿ ÷åòûðå ïàðû èíâåðñèé:
(3 1) , (3 2 ) , (5 2 ) , (5 4 ) .
       Ëåãêî óâèäåòü, ÷òî äëÿ ïîäñ÷¸òà ÷èñëà èíâåðñèé â ïåðåñòà-
íîâêå (αβ...ω) ñëåäóåò ïîäñ÷èòàòü, ñêîëüêî äëÿ êàæäîãî ÷èñëà
èìååòñÿ ñëåäóþùèõ çà íèì ìåíüøèõ åãî ÷èñåë è çàòåì ñëîæèòü
âñå íàéäåííûå çíà÷åíèÿ.
       Âåðí¸ìñÿ ê íàøåìó ïðèìåðó (3 1 5 2 4 ) .
    ×èñëî ïàð èíâåðñèé s = 2 + 0 + 2 + 0 + 0 = 4 .
Îïðåäåëåíèå 2.4. Ïåðåñòàíîâêà íàçûâàåòñÿ ÷¸òíîé, åñëè îíà ñî-
äåðæèò ÷¸òíîå ÷èñëî ïàð èíâåðñèé, è íàçûâàåòñÿ íå÷¸òíîé â ïðî-
òèâíîì ñëó÷àå.
    Ïðàâèëî äëÿ çíàêà.
    Ïóñòü p - ôèêñèðîâàííîå ïðîèçâåäåíèå, âõîäÿùåå â ñîñòàâ
îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû ïîðÿäêà n . Âûïèøåì ñîìíîæèòåëè ïðî-
èçâåäåíèÿ p â ïîðÿäêå ñëåäîâàíèÿ ñòðîê:

Страницы