Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

45
ωβα
⋅⋅⋅=
n
aaap
...
21
.
Î÷åâèäíî, ÷òî íîìåðà ñòîëáöîâ äàäóò ïåðåñòàíîâêó
()
ωαβ
...
.
Ïðîèçâåäåíèå
p
áåð¸òñÿ ñî çíàêîì (+), åñëè ýòà ïåðåñòàíîâ-
êà ÷¸òíàÿ, è ñî çíàêîì (-), åñëè îíà íå÷¸òíàÿ.
Åñëè ÷èñëî ïàð èíâåðñèé â ïåðåñòàíîâêå
()
ωαβ
...
ðàâíî
s
,
ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ïðîèçâåäåíèå
p
âõîäèò â îïðåäåëèòåëü ìàò-
ðèöû ñî çíàêîì
()
s
1
−
.
Äëÿ ïðèìåðà ðàññìîòðèì ñ êàêèìè çíàêàìè âõîäÿò ñëàãàå-
ìûå â îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ïîðÿäêà òðè:
332211
aaa +
()
321
0=s
;
3123
aa
12
a
+
()
1 3 2
2011 =++=s
;
322113
aaa +
()
2 1 3
2002 =++=s
;
312213
aaa −
()
1 2 3
3012 =++=s
;
322311
aaa −
()
2 3 1
1010 =++=s
;
332112
aaa −
()
3 1 2
1001 =++=s
.
Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ïîðÿäêà
n
ìîæíî çàïèñàòü òàê:
()
()
()
∑
ωαβ
ωβα
ωαβ
−=
...
21
...
21
22221
11211
...1
...
............
...
...
n
s
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
. (2.5)
(2.5) åñòü ôîðìóëà ïîëíîãî ðàçëîæåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû
n
-
ãî ïîðÿäêà.
Çàìå÷àíèå 2.1. Åñëè ìàòðèöà èìååò íóëåâóþ ñòðîêó èëè íóëåâîé
ñòîëáåö, òî â ïðîèçâåäåíèÿ
ωβα
⋅⋅⋅=
n
aaap
...
21
îáÿçàòåëüíî áóäóò
âõîäèòü ýòè íóëåâûå ýëåìåíòû, è òàêèì îáðàçîì îïðåäåëèòåëü
äàííîé ìàòðèöû áóäåò ðàâåí íóëþ.
                                                                             45

                             p = a1α ⋅ a2β ⋅ ... ⋅ anω .
     Î÷åâèäíî, ÷òî íîìåðà ñòîëáöîâ äàäóò ïåðåñòàíîâêó (αβ...ω) .
     Ïðîèçâåäåíèå p áåð¸òñÿ ñî çíàêîì (+), åñëè ýòà ïåðåñòàíîâ-
êà ÷¸òíàÿ, è ñî çíàêîì (-), åñëè îíà íå÷¸òíàÿ.
    Åñëè ÷èñëî ïàð èíâåðñèé â ïåðåñòàíîâêå (αβ...ω) ðàâíî s ,
ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ïðîèçâåäåíèå p âõîäèò â îïðåäåëèòåëü ìàò-
ðèöû ñî çíàêîì (− 1)s .

    Äëÿ ïðèìåðà ðàññìîòðèì ñ êàêèìè çíàêàìè âõîäÿò ñëàãàå-
ìûå â îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ïîðÿäêà òðè:
     + a11a22 a33    (1 2 3) s = 0 ;
     + a12 a23 a31   (2 3 1) s = 1 + 1 + 0 = 2 ;
     + a13 a21a32    (3 1 2 ) s = 2 + 0 + 0 = 2 ;
     − a13 a22 a31   (3 2 1) s = 2 + 1 + 0 = 3 ;
     − a11a 23 a32   (1 3 2 ) s = 0 + 1 + 0 = 1 ;
     − a12 a21a33    (2 1 3) s = 1 + 0 + 0 = 1 .
     Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ïîðÿäêà n ìîæíî çàïèñàòü òàê:

              a11    a12    ... a1n
              a21    a 22   ... a2 n           (αβ ω)
                                     = ∑ (− 1)s ... a1α a2β ...anω
              ...     ...   ... ... (αβ...ω)                       . (2.5)
              an1    an 2   ... ann
(2.5) åñòü ôîðìóëà ïîëíîãî ðàçëîæåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû n -
ãî ïîðÿäêà.
Çàìå÷àíèå 2.1. Åñëè ìàòðèöà èìååò íóëåâóþ ñòðîêó èëè íóëåâîé
ñòîëáåö, òî â ïðîèçâåäåíèÿ p = a1α ⋅ a2β ⋅ ... ⋅ anω îáÿçàòåëüíî áóäóò
âõîäèòü ýòè íóëåâûå ýëåìåíòû, è òàêèì îáðàçîì îïðåäåëèòåëü
äàííîé ìàòðèöû áóäåò ðàâåí íóëþ.

Страницы