Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

48
=
444241
343231
141211
23
aaa
aaa
aaa
D
,
äîïîëíèòåëüíûé ìèíîð ýëåìåíòà
23
a
åñòü
444241
343231
141211
2323
aaa
aaa
aaa
Dd ==
.
Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ìàòðèöû ïîðÿäêà
n
ìû ìîæåì ñîñòàâèòü
2
n
äîïîëíèòåëüíûõ ìèíîðîâ, ïî îäíîìó äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà.
Ëåììà 2.1. Åñëè âñå ýëåìåíòû ïåðâîé ñòðîêè ìàòðèöû ïîðÿäêà
n
ðàâíû íóëþ, êðîìå
11
a
, òî å¸ îïðåäåëèòåëü ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ
ýëåìåíòà
11
a
íà åãî äîïîëíèòåëüíûé ìèíîð
11
d
.
 áîëåå ïîäðîáíîé çàïèñè ýòî âûãëÿäèò òàê:
=
nnnn
n
aaa
aaa
a
A
...
............
...
...
21
22221
11
00
,
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
...
............
...
...
32
33332
22322
11
,
1111
Dd =
,
1111
daA =
. (2.8)
Ðàâåíñòâî (2.8) ñðàçó ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ 2.1 è óðàâíå-
íèÿ (2.1)
()
innii
ahahahAf
+++=
...
2211
, (2.1)
ãäå
111
dh =
, à
0
32
====
n
hhh
...
.
()
1111111
daahAfA
===
.
Ðàññìîòðèì òåïåðü ìàòðèöó ïîðÿäêà
n
ó êîòîðîé â
i
-é ñòðî-
êå âñå ýëåìåíòû ðàâíû íóëþ, êðîìå ýëåìåíòà
ik
a
.
48

                                   a11     a12     a14 
                                                        
                            D23 =  a31     a32     a34 
                                                           ,
                                  a        a42     a44 
                                   41
äîïîëíèòåëüíûé ìèíîð ýëåìåíòà a23 åñòü

                                        a11       a12    a14
                         d 23 = D23   = a31       a32    a34
                                                             .
                                        a41       a42    a44
    Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ìàòðèöû ïîðÿäêà n ìû ìîæåì ñîñòàâèòü
n äîïîëíèòåëüíûõ ìèíîðîâ, ïî îäíîìó äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà.
  2

Ëåììà 2.1. Åñëè âñå ýëåìåíòû ïåðâîé ñòðîêè ìàòðèöû ïîðÿäêà n
ðàâíû íóëþ, êðîìå a11 , òî å¸ îïðåäåëèòåëü ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ
ýëåìåíòà a11 íà åãî äîïîëíèòåëüíûé ìèíîð d11 .
    Â áîëåå ïîäðîáíîé çàïèñè ýòî âûãëÿäèò òàê:

    a       0     ... 0           a            a23    ... a2 n 
     11                            22                          
    a      a22    ... a2 n        a            a33    ... a3n 
A =  21                     D11 =  32
      ...   ...    ... ... ,           ...        ...    ... ...  ,   d11 = D11 ,
                                                               
    a      an 2   ... ann                            ... ann 
     n1                             an 2        an 3

                              A = a11d11 .                                 (2.8)
     Ðàâåíñòâî (2.8) ñðàçó ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ 2.1 è óðàâíå-
íèÿ (2.1)
                      f (A) = h1ai1 + h2 ai 2 + ... + hn ain ,             (2.1)
ãäå h1 = d11 , à h2 = h3 = ... = hn = 0 .
                          A = f (A) = h1a11 = a11d11 .
      Ðàññìîòðèì òåïåðü ìàòðèöó ïîðÿäêà n ó êîòîðîé â i -é ñòðî-
êå âñå ýëåìåíòû ðàâíû íóëþ, êðîìå ýëåìåíòà aik .

Страницы