Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 52 стр.

52

     Ðàññìîòðèì îïðåäåëèòåëü, â êîòîðîì j -ÿ ñòðîêà çàìåíåíà
íà i -þ ñòðîêó è i ≠ j :

                                      a11   a12    ...   a1n
                                      ...   ...    ...   ...
                                  i   ai1   ai 2   ...   ain
                          A=          ...   ...    ...   ...
                                  j   ai1   ai 2   ...   ain .
                                      ...   ...    ...   ...
                                      an1   an 2   ...   ann

     Òàê êàê â îïðåäåëèòåëå ñîäåðæàòñÿ äâå îäèíàêîâûå ñòðîêè,
òî ïî ñâîéñòâó 3 îí ðàâåí íóëþ.
     Ðàçëîæèì íàø îïðåäåëèòåëü ïî j -é ñòðîêå:
                            n
                   A = ∑ ais Ajs = 0 .                           (2.17)
                           s =1

    Î÷åâèäíî, ÷òî ðàâåíñòâî (2.17) áóäåò ñïðàâåäëèâî è â òîì
ñëó÷àå, êîãäà ýëåìåíòû j -é ñòðîêè íå ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè i -é
ñòðîêè, òàê êàê àëãåáðàè÷åñêèå ýëåìåíòû Ajs îò ýëåìåíòîâ j -é
ñòðîêè â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèÿìè 2.5 è 2.6 íå çàâèñÿò.
    Ðàâåíñòâà (2.13) - (2.17) ìîæíî çàïèñàòü â áîëåå îáùåì âèäå:
                    n                  A , i = j,
                   ∑ ais Ajs =  0,
                               i ≠ j.
                                                     (2.18)
                   s =1   
Ñâîéñòâî 6. Åñëè âñå ýëåìåíòû êàêîé-íèáóäü ñòðîêè (ñòîëáöà)
óìíîæèòü íà ÷èñëî λ ≠ 0 , òî è îïðåäåëèòåëü óìíîæèòñÿ íà ýòî
æå ÷èñëî.
    Ìíîæèòåëü, îáùèé äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ ñòðîêè (ñòîëáöà)
ìîæåò áûòü âûíåñåí çà çíàê îïðåäåëèòåëÿ.