Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 54 стр.

54
2.4. Âû÷èñëåíèå îáðàòíîé ìàòðèöû ñ ïîìîùüþ
     îïðåäåëèòåëÿ

     Ðàíåå ìû óñòàíîâèëè (ïðåäëîæåíèå 1.15), ÷òî ëþáàÿ íåâû-
ðîæäåííàÿ ìàòðèöà èìååò åäèíñòâåííóþ îáðàòíóþ ìàòðèöó. Èñ-
ïîëüçóÿ ïîíÿòèå îïðåäåëèòåëÿ ìû ìîæåì ñôîðìóëèðîâàòü ïðåä-
ëîæåíèå îá îáðàòíîé ìàòðèöå, ïîäîáíîå ïðåäëîæåíèþ 1.15.
Ïðåäëîæåíèå 2.1. Äëÿ òîãî ÷òîáû ìàòðèöà A èìåëà îáðàòíóþ
ìàòðèöó, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû å¸ îïðåäåëèòåëü áûë
îòëè÷åí îò íóëÿ.
     Ïóñòü B - ìàòðèöà îáðàòíàÿ ê ìàòðèöå A . Òîãäà
                          AB = BA = E
è â ñîîòâåòñòâèè ñî ñâîéñòâîì 10
                       AB = A ⋅ B = E = 1 ,

îòêóäà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî A ≠ 0 .

    Ðàññìîòðèì ìàòðèöó A ïîðÿäêà n ó êîòîðîé A ≠ 0 . Ïîêà-
æåì, ÷òî ìàòðèöà B âèäà

                         A11   A21    ... An1 
                                               
                    1  A12     A22    ... An 2 
                 B=   ⋅
                    A  ...     ...    ... ...        (2.21)
                                               
                                      ... Ann 
                         A1n   A2 n
ÿâëÿåòñÿ îáðàòíîé ê ìàòðèöå A .
     Íåïîñðåäñòâåííî âû÷èñëÿÿ ïðîèçâåäåíèÿ AB è BA , â ñîîò-
âåòñòâèè ñî ñâîéñòâàìè îïðåäåëèòåëåé 4 è 5 óáåæäàåìñÿ, ÷òî ìàò-
ðèöà B îáðàòíàÿ ê ìàòðèöå A .