Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 57 стр.

                                                                                 57
èëè
                 aki x k = 0 , i = 1,2,..., m , k = 1,2,..., n .
Îïðåäåëåíèå 3.2. Ñîâîêóïíîñòü ÷èñåë α1 , α 2 ,...,α n íàçûâàåòñÿ ðå-
øåíèåì ñèñòåìû (3.1) åñëè êàæäîå óðàâíåíèå ñèñòåìû îáðàùàåò-
ñÿ â ÷èñëîâîå ðàâåíñòâî ïîñëå ïîäñòàíîâêè â íåãî ÷èñåë
α1 , α 2 ,...,α n âìåñòî ñîîòâåòñòâóþùèõ íåèçâåñòíûõ x1 , x 2 ,..., x n .
       Ïîëüçóÿñü ïîíÿòèåì ëèíåéíûõ îïåðàöèé ñî ñòîëáöàìè ï1.4
ìû ìîæåì ïåðåïèñàòü (3.1) êàê

                   a11         a12                a1n   b1 
                                                    
                   a 2
                                a2                 a2   b2 
             x1 ⋅  1  + x 2 ⋅  2  + ... + x n   ⋅ n  =  
                   ...         ...                ...   ...  ,   (3.6)
                   am          am                 am   bm 
                   1           2                  n   
èëè â áîëåå ñæàòîì âèäå
                    x1a1 + x 2 a 2 + ... + x n a n = b ,                 (3.7)
ãäå a1, a 2 ,...,a n - ñòîëáöû ìàòðèöû ñèñòåìû, à b - ñòîëáåö ñâîáîä-
íûõ ÷ëåíîâ.
     Îòñþäà ñðàçó âûòåêàåò ñëåäóþùàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ðåøåíèÿ
ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (3.1).
Ïðåäëîæåíèå 3.1. Ðåøåíèå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé - ýòî ñî-
âîêóïíîñòü êîýôôèöèåíòîâ x1 , x 2 ,..., x n , ñ êîòîðûìè ñòîëáåö ñâî-
áîäíûõ ÷ëåíîâ ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî ñòîëáöàì ìàòðèöû A ñèñòåìû.
    Íàøà öåëü ñîñòîèò â íàõîæäåíèè âñåõ ðåøåíèé ñèñòåìû (3.1),
ïðè÷¸ì ìû çàðàíåå íå äåëàåì íèêàêèõ ïðåäïîëîæåíèé îòíîñèòåëü-
íî êîýôôèöèåíòîâ aij è ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ b j ñèñòåìû (3.1). ×èñëî
óðàâíåíèé m , òàê æå ñ÷èòàåòñÿ íåèçâåñòíûì.
     Ïðè òàêîì ïîäõîäå ìû ìîæåì îæèäàòü ñëåäóþùèå âîçìîæ-
íîñòè:
     1. Ñèñòåìà ìîæåò âîîáùå íå èìåòü ðåøåíèé.
     2. Ñèñòåìà ìîæåò èìåòü áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé.
     3. Ñèñòåìà ìîæåò èìåòü åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.