Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

59
.
,
420
3
21
21
−=−⋅
=+
xx
xx
~~
−− 420
311
.
,
20
3
21
21
=+⋅
=+
xx
xx
~~
210
311
.
,
20
10
21
21
=+⋅
=⋅+
xx
xx
.~
210
101
.
,
2
1
2
1
=
=
x
x
=
⋅+
⋅
2
1
1
0
2
0
1
1
.
3.2. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ
nm =
 ýòîì ñëó÷àå ìû èìååì ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé âèäà:
,...
.,........................................
,...
,...
nnn
n
nn
n
n
n
n
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
=+++
=+++
=+++
2
2
1
1
2222
2
12
1
1121
2
11
1
(3.8)
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íè îäíî èç óðàâíåíèé ñèñòåìû (3.8) íå
ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé îñòàëüíûõ.  ýòîì ñëó÷àå êâàä-
ðàòíàÿ ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ
A
áóäåò íåâûðîæäåííîé, ò.å. å¸
ñòîëáöû áóäóò ëèíåéíî íåçàâèñèìû è å¸ îïðåäåëèòåëü áóäåò îò-
ëè÷åí îò íóëÿ.
ÒÅÎÐÅÌÀ 3.1. Ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç
n
óðàâíåíèé ñ
n
íåèçâåñ-
òíûìè áóäåò ñîâìåñòíîé è îïðåäåë¸ííîé åñëè îïðåäåëèòåëü ìàò-
ðèöû å¸ êîýôôèöèåíòîâ
A
îòëè÷åí îò íóëÿ.
                                                                                    59


    x1 + x 2 = 3,                  1 1    3 
                                ~           ~
    0 ⋅ x − 2x = −4.
        1          2
                                   0 − 2 − 4


    x1 + x 2 = 3,                           1 1 3
                                          ~      ~
    0 ⋅ x1 + x 2 = 2.                       0 1 2


    x1 + 0 ⋅ x 2 = 1,                       1 0 1
                                          ~     .
    0 ⋅ x + x = 2.
        1      2
                                            0 1 2


    x1 = 1,                                   1         0 1
                                          1 ⋅   + 2 ⋅   =   .
    x 2 = 2.                                  0         1  2


3.2. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ m = n

     ýòîì ñëó÷àå ìû èìååì ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé âèäà:

                       a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1 ,
                       a12 x1 + a22 x 2 + ... + an2 x n = b 2 ,
                       .........................................,           (3.8)
                       a1n x1 + a2n x 2 + ... + ann x n = b n ,
     Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íè îäíî èç óðàâíåíèé ñèñòåìû (3.8) íå
ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé îñòàëüíûõ.  ýòîì ñëó÷àå êâàä-
ðàòíàÿ ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ A áóäåò íåâûðîæäåííîé, ò.å. å¸
ñòîëáöû áóäóò ëèíåéíî íåçàâèñèìû è å¸ îïðåäåëèòåëü áóäåò îò-
ëè÷åí îò íóëÿ.
ÒÅÎÐÅÌÀ 3.1. Ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç n óðàâíåíèé ñ n íåèçâåñ-
òíûìè áóäåò ñîâìåñòíîé è îïðåäåë¸ííîé åñëè îïðåäåëèòåëü ìàò-
ðèöû å¸ êîýôôèöèåíòîâ A îòëè÷åí îò íóëÿ.

Страницы