Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 58 стр.

58
    Ñèñòåìû (3.1) èìåþùèå ðåøåíèÿ áóäåì íàçûâàòü ñîâìåñò-
íûìè. Ïðè ýòîì åñëè ðåøåíèå åäèíñòâåííîå - ñèñòåìó áóäåì íà-
çûâàòü îïðåäåë¸ííîé, åñëè ðåøåíèé áåñêîíå÷íî ìíîãî - íåîïðå-
äåë¸ííîé. Ñèñòåìû íå èìåþùèå ðåøåíèé áóäåì íàçûâàòü íåñîâ-
ìåñòíûìè.

     Êàê ñëåäñòâèå ïðåäëîæåíèé 3.1 è 1.6 ìû ìîæåì ñôîðìóëè-
ðîâàòü
Ïðåäëîæåíèå 3.2. Åñëè ñòîëáöû ìàòðèöû A ñèñòåìû ëèíåéíî
íåçàâèñèìû, òî ñèñòåìà íå ìîæåò èìåòü äâóõ ðàçëè÷íûõ ðåøå-
íèé: îíà èëè íåñîâìåñòíà èëè ñîâìåñòíàÿ è îïðåäåë¸ííàÿ.

     Îñíîâíûì ñðåäñòâîì èññëåäîâàíèÿ è ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé (3.1) äëÿ íàñ áóäåò ìåòîä ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé
ìàòðèöû B . Ïðè÷èíà ýòîãî ëåæèò â ñëåäóþùåì ïðåäëîæåíèè.

Ïðåäëîæåíèå 3.3. Ýëåìåíòàðíûì ïðåîáðàçîâàíèÿì ñòðîê ðàñøè-
ðåííîé ìàòðèöû B ñèñòåìû (3.1) ñîîòâåòñòâóþò ïðåîáðàçîâàíèÿ
äàííîé ñèñòåìû, íå ìåíÿþùèå ìíîæåñòâà å¸ ðåøåíèé.
     Äåéñòâèòåëüíî, åñëè i -ÿ ñòðîêà ìàòðèöû B óìíîæåíà íà
÷èñëî λ ≠ 0 , òî ïðåîáðàçîâàííàÿ ìàòðèöà B ÿâëÿåòñÿ ðàñøèðåí-
íîé ìàòðèöåé äëÿ ñèñòåìû, ïîëó÷åííîé èç (3.1) óìíîæåíèåì i -
ãî óðàâíåíèÿ íà ÷èñëî λ ≠ 0 . Åñëè â ìàòðèöå B i -ÿ ñòðîêà ïðè-
áàâëÿåòñÿ ê j -é ñòðîêå, òî â ñèñòåìå (3.1) i -å óðàâíåíèå ïðèáàâ-
ëÿåòñÿ ê j -ìó.  ëþáîì ñëó÷àå ïðåîáðàçîâàííàÿ ñèñòåìà ÿâëÿåò-
ñÿ ñëåäñòâèåì èñõîäíîé ñèñòåìû (3.1). Ìû çíàåì, ÷òî ýëåìåíòàð-
íûå ïðåîáðàçîâàíèÿ îáðàòèìû, à çíà÷èò, è èñõîäíàÿ ñèñòåìà ìî-
æåò áûòü ïîëó÷åíà èç ïðåîáðàçîâàííîé è ÿâëÿåòñÿ å¸ ñëåäñòâèåì.
Ïîýòîìó ìíîæåñòâà ðåøåíèé îáåèõ ñèñòåì ñîâïàäàþò.

     Ïðèìåð.
     x1 + x 2 = 3,               1 1    3
                             B =          ~
     x1 − x 2 = −1.              1 − 1 − 1