Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 60 стр.

60
     Çàïèøåì (3.8) â âèäå
                           Ax = b .
     Òàê êàê ïî óñëîâèþ òåîðåìû ìàòðèöà A íåâûðîæäåííàÿ -
îíà èìååò îáðàòíóþ ìàòðèöó A−1 è òîãäà èç
                              Ax = b
ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî
                            x = A−1b .
     Ïîêàæåì, ÷òî x = A−1b óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå (3.8).
     Äåéñòâèòåëüíî
                      (     ) (        )
               Ax = A A−1b = AA−1 ⋅ b = Eb = b .
     Ðåøåíèå åäèíñòâåííî â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 3.2, òàê êàê ñòîë-
áöû íåâûðîæäåííîé ìàòðèöû A ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Èñïîëü-
çóÿ ïðåäëîæåíèå 3.2 ìû ìîæåì ñôîðìóëèðîâàòü òåîðåìó 3.1 êàê:
Ïðåäëîæåíèå 3.4. Åñëè A - íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n
( A ≠ 0 ), òîãäà ëþáîé ñòîëáåö b âûñîòû n ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî
ñòîëáöàì ìàòðèöû A îäíîçíà÷íî.
     Òàê êàê ìàòðèöà A íåâûðîæäåííàÿ, å¸ ñòîëáöû, â ñîîòâåò-
ñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì 1.12, ÿâëÿþòñÿ áàçèñíûìè ñòîëáöàìè è â
ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 1.2 ëþáîé ñòîëáåö b âûñîòû n ðàñêëà-
äûâàåòñÿ ïî ñòîëáöàì ìàòðèöû A îäíîçíà÷íî.
Ñëåäñòâèå 3.1. Åñëè A - íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n
( A ≠ 0 ), òîãäà ëþáàÿ ñòðîêà äëèíû n îäíîçíà÷íî ðàñêëàäûâà-
åòñÿ ïî ñòðîêàì ìàòðèöû A .

3.4. Ïðàâèëî Êðàìåðà

     Ïðàâèëî Êðàìåðà ïîçâîëÿåò íàõîäèòü ðåøåíèå ñèñòåìû ëè-
íåéíûõ óðàâíåíèé ïðè m = n , ò.å. ñèñòåìû (3.8) åñëè A ≠ 0 . Òà-
êèì îáðàçîì, äëÿ ïðèìåíåíèÿ ïðàâèëà Êðàìåðà íàäî ñíà÷àëà
âû÷èñëèòü îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû (3.8), åñëè îí íå ðàâåí íóëþ,
ìû ìîæåì ïðîäîëæèòü âû÷èñëåíèå íåèçâåñòíûõ.