Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 61 стр.

                                                                                         61

       Âûáåðåì ïðîèçâîëüíóþ íåèçâåñòíóþ, íàïðèìåð, x j è â ìàò-
ðèöå A çàìåíèì ñòîëáåö a j ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ b . Îï-
ðåäåëèòåëü ïîëó÷åííîé ìàòðèöû áóäåò èìåòü âèä:

                    a11 ... a1j −1 b1         a1j +1 ... a1n
                   a 2 ... a 2j −1 b 2        a 2j +1 ... an2
               ∆j = 1
                    ... ... ... ...            ... ... ...                       (3.9)
                   a1n ... a nj−1 b n         a nj+1 ... ann

èëè â êðàòêîé çàïèñè (ñì. (1.2)):
                    ∆ j = a1 ... a j −1 b a j +1 ... a n .

    Åñëè çíà÷åíèÿ x1 , x 2 ,..., x n ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû (3.8),
òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäëîæåíèåì 3.1 è ôîðìóëîé (3.7)
             b = x1a1 + x 2 a 2 + ... + x n a n .                                (3.7)
       Ïîäñòàâëÿÿ (3.7) â (3.9) ïîëó÷èì:
            ∆ j = a1 ... a j −1     x1a1 + ... + x n a n    a j +1 ... a n .
       Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî 8, ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ìîæíî çàïèñàòü
òàê:

              ∆ j = a1 ... a j −1    x1a1 a j +1 ... a n + ...

                   ... + a1 ... a j −1     x ja j     a j +1 ... a n + ...

                       ... + a1 ... a j −1      x nan      a j +1 ... a n .

     Âñå ñëàãàåìûå, êðîìå j -ãî èìåþò ïðîïîðöèîíàëüíûå ñòîë-
áöû è â ñîîòâåòñòâèè ñî ñâîéñòâîì 7 èõ îïðåäåëèòåëè ðàâíû íóëþ
è ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ïðèìåò âèä:

          ∆ j = a1 ... a j −1     x ja j   a j +1 ... a n =

                 = x j ⋅ a1 ... a j −1 a j          a j +1 ... a n = x j ⋅ A .