Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 63 стр.

                                                                             63
3.5. Òåîðåìà Êðîíåêåðà-Êàïåëëè

     Ðàññìîòðèì ñíîâà ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (3.1)

                   a11x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1 ,
                   a12 x1 + a22 x 2 + ... + an2 x n = b 2 ,
                   .........................................,        (3.1)
                   a1m x1   +   a2m x 2   + ... +   anm x n     m
                                                              =b ,
êîòîðóþ ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
               Ax = b .                              (3.3)
    Ðàññìàòðèâàåìàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé çàäàíà ñâîé ðàñøèðåí-
íîé ìàòðèöåé
                 B = (A b ) .                            (3.4)
     Ïðîñòîå è ýôôåêòèâíîå óñëîâèå, íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷-
íîå äëÿ ñîâìåñòíîñòè ñèñòåìû (3.1) äà¸ò
ÒÅÎÐÅÌÀ 3.2. (Òåîðåìà Êðîíåêåðà-Êàïåëëè).
     Ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñîâìåñòíà òîãäà è òîëüêî òîã-
äà, êîãäà ðàíã ìàòðèöû A ñèñòåìû ðàâåí ðàíãó ðàñøèðåííîé
ìàòðèöû B :
                 RgA = RgB = r .                         (3.11)
     Ðåøåíèå ñèñòåìû (3.1) ñóùåñòâóåò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
ñòîëáåö ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ, â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäëîæåíèåì 3.1,
ðàñêëàäûâàåòñÿ â ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ ñòîëáöîâ ìàòðèöû A ñ
êîýôôèöèåíòàìè x1 , x 2 ,..., x n , à òîãäà â ñèëó òåîðåìû 1.3 ðàíã ðàñ-
øèðåííîé ìàòðèöû áóäåò ðàâåí ðàíãó ìàòðèöû ñèñòåìû.

     Ïðè ýòîì âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ:
     1. r = n , ò.å. ÷èñëî íåèçâåñòíûõ ðàâíî ÷èñëó óðàâíåíèé è
A ≠0.
    Ñèñòåìà áóäåò ñîâìåñòíîé è îïðåäåë¸ííîé, ò.å. áóäåò èìåòü
åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, ñ ïîìî-
ùüþ ôîðìóë Êðàìåðà.