Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

64
2.
nr <
, ò.å. ÷èñëî íåèçâåñòíûõ áîëüøå ÷èñëà óðàâíåíèé.
Ñèñòåìà óðàâíåíèé áóäåò â ýòîì ñëó÷àå ñîâìåñòíîé íî íåî-
ïðåäåë¸ííîé, ò.å. áóäåò èìåòü áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé.
Åñëè
RgARgB >
- ñèñòåìà óðàâíåíèé áóäåò íåñîâìåñòíîé.
 ýòîì ñëó÷àå ñòîëáåö ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ íå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé
êîìáèíàöèåé áàçèñíûõ ñòîëáöîâ ìàòðèöû
A
.
3.6. Îáùåå ïðàâèëî íàõîæäåíèÿ ðåøåíèé
Ïóñòü
rRgARgB ==
, ò.å. ñèñòåìà (1.3) ñîâìåñòíàÿ. Ðàññìîò-
ðèì ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó (3.4)
=
mm
n
mm
n
n
baaa
baaa
baaa
B
...
...............
...
...
21
222
2
2
1
111
2
1
1
. (3.4)
Òàê êàê ðàíã ðàñøèðåííîé ìàòðèöû
B
ðàâåí ðàíãó ìàòðè-
öû
A
ñèñòåìû, ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî áàçèñíûé ìèíîð ìàòðèöû
A
ÿâëÿåòñÿ è áàçèñíûì ìèíîðîì ìàòðèöû
B
.
Ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñòðîê ìàòðèöû
B
ïðèâåä¸ì å¸ ê âèäó (1.15):
′′′
′′′
′′′
=
+
+
+
rr
n
r
r
nr
nr
baa
baa
baa
B
......
........................
......
......
1
222
1
111
1
100
010
001
. (3.12)
Ïîëó÷åííîé ðàñøèðåííîé ìàòðèöå áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü
ýêâèâàëåíòíàÿ èñõîäíîé ñèñòåìà óðàâíåíèé:
64
    2. r < n , ò.å. ÷èñëî íåèçâåñòíûõ áîëüøå ÷èñëà óðàâíåíèé.
    Ñèñòåìà óðàâíåíèé áóäåò â ýòîì ñëó÷àå ñîâìåñòíîé íî íåî-
ïðåäåë¸ííîé, ò.å. áóäåò èìåòü áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé.

    Åñëè RgB > RgA - ñèñòåìà óðàâíåíèé áóäåò íåñîâìåñòíîé.
 ýòîì ñëó÷àå ñòîëáåö ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ íå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé
êîìáèíàöèåé áàçèñíûõ ñòîëáöîâ ìàòðèöû A .

3.6. Îáùåå ïðàâèëî íàõîæäåíèÿ ðåøåíèé

    Ïóñòü RgB = RgA = r , ò.å. ñèñòåìà (1.3) ñîâìåñòíàÿ. Ðàññìîò-
ðèì ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó (3.4)

              a11    a12   ... a1n    b1 
                                           
              a2     a22   ... an2    b2 
           B= 1                            
              ...    ...   ... ...    ...  .                 (3.4)
              am     a2m   ... anm    b m 
              1
    Òàê êàê ðàíã ðàñøèðåííîé ìàòðèöû B ðàâåí ðàíãó ìàòðè-
öû A ñèñòåìû, ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî áàçèñíûé ìèíîð ìàòðèöû
A ÿâëÿåòñÿ è áàçèñíûì ìèíîðîì ìàòðèöû B .
    Ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñòðîê ìàòðèöû
B ïðèâåä¸ì å¸ ê âèäó (1.15):

             1       0 ... 0 ar′1+1     ... an′1    b′1 
                                                         
             0       1 ... 0 ar′+21     ... an′ 2   b′ 2 
           B=                                            
              ...   ... ... ... ...     ... ...     ...  .   (3.12)
             0       0 ... 1 ar′r+1     ... an′r    b′r 
             
    Ïîëó÷åííîé ðàñøèðåííîé ìàòðèöå áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü
ýêâèâàëåíòíàÿ èñõîäíîé ñèñòåìà óðàâíåíèé:

Страницы