Аналитическая геометрия и линейная алгебра. I семестр. Курс лекций. Кирсанов А.А. - 88 стр.

88
    Ôîðìóëû (4.17) è (4.19) ëåãêî ðàñïðîñòðàíèòü íà ñëó÷àé òð¸õ-
ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà.
     Ðàññìîòðèì òåïåðü êàê âåä¸ò ñåáÿ îòðåçîê M 1M 2 ïðè ïåðå-
õîäå îò îäíîé ÏÑÊ ê äðóãîé. Ïóñòü M 1 (x1 , y1 ) è M 2 (x2 , y2 ) - êîîð-
äèíàòû êîíöîâ çàäàííîãî îòðåçêà â ÏÑÊ O, x, y , à M 1′(x1′ , y1′ ) è
M 2′ (x2′ , y2′ ) - êîîðäèíàòû òîãî æå îòðåçêà â íîâîé ÏÑÊ O′, x′, y′ .
Òàê êàê îòðåçîê M 1M 2 â îáîèõ ÏÑÊ îäèí è òîò æå ìû ìîæåì
çàïèñàòü:
                               M 1M 2 = M 1′M 2′
èëè â êîîðäèíàòàõ
                  x2 − x1 = (x2′ + α ) − (x1′ + α ) = x2′ − x1′ ,
                  y2 − y1 = ( y′2 + β) − ( y1′ + β) = y′2 − y1′ .
    Ìû âèäèì, ÷òî ðàçíîñòü êîîðäèíàò âåêòîðà M 1M 2 ïðè ïà-
ðàëëåëüíîì ïåðåíîñå ÏÑÊ íå ìåíÿþòñÿ. Ýòî ãîâîðèò î òîì, ÷òî
âåêòîð ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíîé âåëè÷èíîé, ò.å. âåëè÷èíîé íå çàâèñÿ-
ùåé îò âûáîðà ÑÊ, ÷òî ñîáñòâåííî è ïîçâîëÿåò íàì åãî èçó÷àòü.

4.5.2. Ïîâîðîò ÏÑÊ â ïëîñêîñòè.

     Ðàññìîòðèì ïîâîðîò ÏÑÊ O, x, y âîêðóã òî÷êè O (ðèñ. 4.15)
íà óãîë ϕ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, â ðåçóëüòàòå êîòîðîãî ñòàðàÿ
ÏÑÊ ïåðåéä¸ò â íîâóþ ÏÑÊ O, x′, y′ . Âûÿñíèì ñíà÷àëà êàê áó-
äóò ïðåîáðàçîâûâàòüñÿ îðòû. Èç ðèñ. 4.15 ÿñíî:
                          r           r       r
                          i ′ = cos ϕi + sin ϕj ,
                        r              r        r
                         j ′ = − sin ϕi + cos ϕj .
      ìàòðè÷íîé ôîðìå ýòî ìîæíî çàïèñàòü òàê:
                  r                             r
                 i′   cos ϕ sin ϕ   i 
                 r  =                        
                 j ′  − sin ϕ cos ϕ  ⋅  rj    (4.20)
                                          